0357

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

359

6) Szereg

£(-W»i+l)*,

>-0

gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, jest także sumowalny metodą Cesary rzędu k+1. Można to stwierdzić na podstawie poprzedniego wyniku.

Rzeczywiście. Rozwińmy ("'J*) według potęg n+1 :

a|^ł>są stałymi współczynnikami, przy czym <x\^k> = l/kl&O. Pisząc jeszcze kilka takich równości z zastąpieniem k kolejno przez k — i, k—2.....1 możemy łatwo przedstawić, na odwrót, (n +1)‘ w postaci sumy

(»+ d‘=?? cr)+/»^<s^o c:-T')+ - +c er)

ze stałymi współczynnikami /?<*’. Ale wówczas

£ (-i)*(«+D‘ - ^*2, +CL-.+ - +/TS, •

N-0

Ponieważ wszystkie szeregi 2, (i = 1, 2, ..., Ar) są sumowalne metodą Cesary rzędu Ar+1 (uwzględniamy tutaj własności metod Cesary kolejnych rzędów), dany szereg jest również sumowalny metodą Cesary wobec liniowości tej metody.

Samo obliczenie uogólnionej sumy będziemy w stanie wykonać dopiero dalej [449].

Podamy jeszcze kitka przykładów bezpośredniego zastosowania metod Holdera, Borela i Eulera.

7)    Zsumować metodą Hóldera szeregi

(a) 1 — 2+3—4+ ... (b) 1-3+6-10+ ...

Odpowiedź, (a) Dwukrotne wzięcie średniej daje sumę j. (b) Trzykrotne wzięcie średniej daje j- .

8)    Zsumować szereg

1-I-H-1 + 1-1 + ...

metodą Borela.

Odpowiedź, lim e~’—= y-.

X-*<X    2    2

9) Zsumować metodą Eulera szeregi

(a) 1-1 + 1-] + ...,    (b) 1-2+-2-4+ ....

(c) 1—2-+2²—2*+ ..., (d) l³—2³+3³—4³-j-...

Wskazówka. We wszystkich przypadkach wygodnię jest korzystać z przekształcenia Eulera w formie (20).

Odpowiedź, (a) A — y ; (b)J°Oo “ 1,^'flo «* 0 dla p>l,A = -i- — y — -i ; (cjzl^ao — 1, A y — -i-+ -i —... — y ; (d)/4°fl₀ = l,zJ'ao = 7,A²a₀ «= 12, A³a₀ = 6, A"a₀ = 0 dla p>3, + =

“2    4 ⁺ 8    16 ”    8

426. Ogólna klasa liniowych, regularnych metod sumowania. Podamy na zakończenie pewien bardzo ogólny schemat konstrukcji całej klasy regularnych metod sumowania, która zawiera w szczególności wszystkie metody przytoczone wyżej.

Niech będzie dany w pewnym obszarze 9f zmienności parametru x ciąg funkcji

(®)

9>oW, fiW, <Pi(x).....    <p.M,    ...