54 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Zadanie 8.2. Obliczyć całkę
gdzie C jest dowolnym konturem zawierającym punkt i. Rozwiązanie. Zauważmy, że
f cosz f /(z)
gdzie
(2) /(z) = cos z.
Funkcja (2) jest holomorficzna wewnątrz i na konturze C. Stosując do funkcji (2) wzór (8.2) w punkcie z = i dla n = 2, otrzymujemy kolejno
d2(cosz) 2! f cos£
“o5
_ 2! r cosl
t 2ni J (C-i
c
i r cos i
"U cc—*
c
1 f cosC
-cos i = — dC,
™ J (C-0
c
i r cos ę
Jti J (C-i)
c
■iv r c°si
J (C-«
dz
— cos z
z = i
ni
-J(e+e
3«.
3^.
3 dt.
Zadania do rozwiązania
1. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego względnie jego uogólnienie, obliczyć całki:
f z2dz
J 7^27 ’
gdy C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w początku układu
i promieniu 3,
b)
f sin zdz
J z + »
gdzie C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w punkcie — i oraz
promieniu 3,
c) ~2—-, gdzie C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w punkcie 2i oraz
j z + y
c
dz
promieniu 2,
I
dz
J (z+2)'
gdzie C ji
2. Obliczyć całkę
jeżeli C jest okręgiem skiei
a) o promieniu R<2 i
b) o promieniu R<2 i
c) o promieniu R>2 i 3. Obliczyć całkę
gdzie C jest okręgiem skie 4. Obliczyć całkę
jeśli C jest okręgiem skiei
a) o równaniu |z-i| =
b) o równaniu |z+i| =
c) o równaniu |z| = 2
Odpowiedzi
1. a) —8jci, b) v(t
2. Wskazówka: rozl
4. Wskazówka: roz