36778 str054 (5)

54 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Zadanie 8.2. Obliczyć całkę

0)

gdzie C jest dowolnym konturem zawierającym punkt i. Rozwiązanie. Zauważmy, że

f cosz    f /(z)

gdzie

(2)    /(z) = cos z.

Funkcja (2) jest holomorficzna wewnątrz i na konturze C. Stosując do funkcji (2) wzór (8.2) w punkcie z = i dla n = 2, otrzymujemy kolejno

d²(cosz) 2! f cos£

“o⁵

_ 2! r cosl

t 2ni J (C-i

c

i r cos i

"U cc—*

c

1 f cosC

-cos i = —    dC,

™ J (C-0

c

i r cos ę

Jti J (C-i)

c

■iv r ^c°^si

J (C-«

dz

— cos z

z = i

ni

-J^(e+e

3«.

3^.

3 dt.

Zadania do rozwiązania

1. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego względnie jego uogólnienie, obliczyć całki:

a)

f z²dz

J 7^27 ’

gdy C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w początku układu

i promieniu 3,

b)

f sin zdz

J z + »

gdzie C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w punkcie — i oraz

promieniu 3,

c)    ~2—-, gdzie C jest okręgiem skierowanym dodatnio o środku w punkcie 2i oraz

j z + y

c

dz

promieniu 2,

I

dz

7W ⁸“^ZieCi<

promieniu 2,

f e^zdz

d)

e)

J (z+2)'

gdzie C ji

2. Obliczyć całkę

jeżeli C jest okręgiem skiei

a)    o promieniu R<2 i

b)    o promieniu R<2 i

c)    o promieniu R>2 i 3. Obliczyć całkę

gdzie C jest okręgiem skie 4. Obliczyć całkę

jeśli C jest okręgiem skiei

a)    o równaniu |z-i| =

b)    o równaniu |z+i| =

c)    o równaniu |z| = 2

Odpowiedzi

1. a) —8jci,    b) v(t

2.    Wskazówka: rozl

n

³-T2^L

4. Wskazówka: roz