19510 str014 (5)

14 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Rugując parametr t z układu (1), mamy

Jest to równanie prostej.

x + iy = t + — .

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach ostatniej równości, mamy

(2)

1

t# 0.

Rugując parametr / z układu (2), mamy

Jest to równanie hiperboli równobocznej.

Zadanie 2.2. Obliczyć pochodną funkcji: a) z = (1 + i)+(l +2i)f“, b) z = (l + 2/!)e^2t.

Rozwiązanie, a)Zgodnie z uwagą 1 bieżącego paragrafu różniczkujemy naszą funkcję względem t, pamiętając, że i jest stałe. Mamy wtedy

J

z' = 2(l+2i)t.

b) Postępując analogicznie mamy

z' = 2ie^z,+ 2(l +2i!) e^2t, z' = e²'(2i + 2+4if).

Zadanie 2.3. Obliczyć całki:

2

2

a) f (f + it²) dt, b) J (cos 21 +1 sin 2f) dl.

o

i

Rozwiązanie a) Przyjmijmy

(1)

z(0 = t + it².

t i

Funkcja pierwotna G(t) funkcji (1) określona jest wzorem G(t) = — + —ł³. Wobec tego, zgodnie ze wzorem (2.5), mamy w naszym przypadku