3781535051

Analiza zespolona Lista 6

Zad 1. Niech 2 G C \ {0}. Obliczyć całkę

gdzie 7 jest dowolnie wybraną krzywą nieprzechodzącą przez zero i łączącą punkty 1 i 2.

Zad 2. Obliczyć całki:

/

J 12—11=2

1 +

1

^b) /

J I Z —Z

=>/

J    i]

2C² d2.

^r |js— 11=2    ^— 1)^Z    -/|z-zo|=

Zad 3. Niech f(z) = i?e2 i niech T będzie

a)    odcinkiem o początku i i końcu —i,

b)    lewym półokręgiem łączącym punkty —iii,

c)    prawym półokręgiem łączącym punkty —i i i.

Obliczyć całkę J_rf(z)dz.

Zad 4. Obliczyć całki / f(z) dz, gdzie Jk

a) f(z) = |^2, K jest pierwszą ćwiartką okręgu o promieniu R i środku w (0,0) skierowaną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,

b) f(z) = cos 2, K to luk półokręgu o promieniu 1 łączący punkty z_a = —i,Z\ = i,

c) f(z) = sin (2), K to łamana zamknięta o wierzchołkach 2 = 0,2 =    2 = | + |i,

d)    f(z) = ze^z, K jest lukiem elipsy x² + 2y² = 1 leżącym w pierwszej ćwiartce łączącym punkty zq — 1, zi — -7=,

e) f(z) = -pr_j-j-,    K jest lukiem paraboli y = x² łączącym punkty zq — 0, z\ — 1 + i,

f)    f(z) = e^z, K jest odcinkiem o początku 2 = 1 i końcu 2 = i,

g)    f(z) = Re(z), K jest częścią krzywej łączącej punkt (0,0) z punktem (1,1),

h) /(2) = 2 + 4j, K = {z G C : \z- 1| = 2}.

Zad 5. Obliczyć całki / f(z) dz, gdzie Jk

*)/(*) = £,    K={zeC:\z\=2},

^b) f(z) =    , K jest elipsą x² +    = 1,

c)    f(z) =    I< jest okręgiem \z - (2 + i)\ = y/2,

d)    f(z) =    K jest elipsą x² + Ay² = 1,

e)    f(z) =    , K jest łamaną zamkniętą łączącą punkty 0, —2 + i, —2 — i,

f)    f(z) = (7. K jest łamaną skierowaną dodatnio o wierzchołkach 1, i, —1, —i,

g)    f(z) = (^7)2, K jest okręgiem \z\ =2 skierowanym dodatnio,

h)    f(z) =    , K jest okręgiem |c | =3 skierowanym ujemnie.