Save0014

PRZEGLĄD POJĘĆ ANALIZY ZESPOLONEJ. ANAL OGIE.

Niech z₀ = (x₀, y₀) = x₀ + iy₀ oraz s > 0.

Wtedy \z - z₀| = s jest równaniem okręgu o środku w punkcie z₀ i promieniu s.

Def. Otoczenie punktu z₀ (o promieniu s) nazywamy zbiór wszystkich punktów z na płaszczyźnie zespolonej, spełniających warunek |z - z₀1 < s .

Płaszczyzna zespolona otwarta może być uzupełniona punktem w nieskończoności. Płaszczyzna domknięta: płaszczyzna otwarta wraz z punktem z = co .

CIĄG LICZBOWY.

Ciąg liczbowy {zj = {z₁,z₂,z₃...j

k}=k +*>«}

Def. Liczba g = g_x +ig₂ jest granicą ciągu {z_n}, gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w dowolnie małym otoczeniu punktu g, ozn. lim z_n = g .

Zatem

limz_n=g <=> limx_n-g_x oraz Hm y_n = g₂ Granica niewłaściwa    \imz_n=co<=> limx„=co lub limy_n= co

SZEREG LICZBOWY.

{z_n}={z,,z₂,z₃...} ciąg liczbowy

n

S_n-Y. zk    suma częściowa

k=\

{5„} = {S_l,S₂,S₃,...}= {z_Pz, + z₂, Zj +z₂ +z₃,...} ciągliczbowy

Def. Ciąg {ó'_n} nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy L z_n .

Jeśli ciąg {S_n} ma granicę właściwą S to liczbę S nazywamy sumą szeregu, a szereg nazywamy zbieżnym. \imS_n - S, S * co

Jeśli granica ciągu {S_n } jest nieskończona lub nie istnieje to szereg nazywamy rozbieżnym.

n    n

limS_n istnieje <=> istnieją lim Y^xk ^oraz Hm Yyt

oo    oo    oo

Szereg Y^z„ jest zbieżny <=» szeregi Y^x„ oraz Yy„ są zbieżne.

n=0    n=0    n=0

⁰⁰ ,    |    .    .    |. I 2 T

Szereg Y\^z„\ jest szeregiem liczb rzeczywistych, bo \z\ = Jx_rl + y_n > 0

n=0

4