8592539736

15

Funkcje zespolone.

Przykład 3.19. Niech f(z) = f(x + iy) = yj\ xy |, gdzie u(x,y) = \J\ xy \ oraz v(x,y) = 0. W punkcie z₀ = (0,0) spełnione są warunki Cauchy-Riemanna, gdyż

du    dv    du    dv

dx    dy    dy    dx

Jednak pochodna / (0) nie istnieje, gdyż gdy Az —> 0 wzdłuż półprostej o równaniach Ax = at, Ay = (3t, dla t > 0, wtedy

/'(O) =

lim

Az->0

/(Az)-/(0) Az

\/| A* ■ Ay | lun —-—-

Ax-0 /\_X -j- 2/\y Ay—O    ^J

y/\ at-0t\    yJ\afT\

at + iftt    a + i(3

co oznacza, że wartość granicy Jim^    ^ zależy od wartości parametrów

a i /?, czyli od kierunku półprostej.    □

Twierdzenie 3.20. (Warunek wystarczający istnienia pochodnej funkcji zespolonej)

Jeżeli funkcje u(x, y) oraz v(x, y) spełniają warunki Cauchy-Riemanna w pewnym obszarze E i jeżeli ponadto są w tym obszarze klasy C¹, to funkcja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ma w każdym punkcie z = x + iy tego obszaru pochodną:

du

dx

,dv

^l~d~x

l.du    ,dv.

-(a—h *w-)

t dy dy

/'(*)

Przykład 3.21. Niech f(z) = e^z = e^x+ly = e^xcosy + ie^xśmy. Funkcje u{x. y) = e* cos y oraz v(x, y) = e^x sin y są klasy C¹ i spełniają warunki Cauchy-Riemanna na całej płaszczyźnie: