8592539742

20

Funkcje zespolone.

Przykład 4.6. Niech C = K(zo,r) = {z £ Cl :| 2 — Zq |= r} będzie okręgiem o środku w punkcie zq i promieniu r skierowanym dodatnio względem koła ograniczonego tym okręgiem. Wówczas

/

K(zo,r)

dz

(* - 2o)’

.    .7

r ire J rⁿe^int

2ni,	n = 1
0,	n yŚ 1.

□

Twierdzenie 4.7. (Podstawowe Cauchy)

Jeżeli funkcja f jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D oraz C jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w obszarze D, to

J f(z)dz = 0.

c

Przykład 4.8. Dla dowolnego n € N, funkcja f(z) = zⁿ jest holomorficzna na całej płaszczyźnie oraz okrąg K(0, r) jest krzywą gładką Jordana, zatem

[ zⁿdz = 0.

K(0,r)

□

Wniosek 4.9. Niech funkcja f będzie holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktu zq € D. Jeśli C oraz C\ oznaczają kawałkami gładkie krzywe Jordana zawarte w obszarze D, skierowane zgodnie i zawierające wewnątrz punkt Zq, to

j f(z)dz = j f(z)dz. c    Ci