8592539749

Funkcje zespolone.

Przykład 2.4. Ciąg z_n = (1 4-    + (3 — ma granicę Zq = 1 + 3i, gdyż

□

Jim (1 + f) = 1 ^oraz Jim (3 - 1) = 3.

3 Funkcje zespolone

3.1 Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

Definicja 3.1. Niech TCR. Funkcją z : T —> O, 1z(t) = x(t) + iy(t) = Rez(t) + ilmz(t) nazywamy funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej.

Pojęcia granicy, ciągłości funkcji, pochodnej i całki Riemanna wprowadza się analogicznie jak dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.

Funkcja z(t) = x(t)+iy(t) ma w punkcie to granicę (jest ciągła, różniczkowalna) wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje rzeczywiste x{t) i y{t) mają w tym punkcie granicę (są ciągłe, różniczkowalne).

Istnienie pochodnej funkcji z(t) jest równoważne istnieniu pochodnych x'{t) i y'(t) oraz zachodzi związek:

z'(t) = x'(t)+iy'{t).

Ponadto, jeżeli funkcje x(t) i y(t) są całkowalne w przedziale [a,/?], to

0

0

0

Przykład 3.2.

(20 + re^lt)' = — rsint + ir cos t = ir (cos t + isinf) = ire^lt,

J(z₀ 4- re^lt)dt — j(x₀ + r cos t)dt + i j(yo + r sin t)dt = 7rx₀ + i(nyo + 2r).

o

o

o