8592539734

13

Funkcje zespolone.

Definicja 3.11. Funkcja zespolona f ma granicę niewłaściwą w punkcie zo, co oznaczamy Jim f(z) = oo, jeśli dla każdego ciągu (z_n) punktów zbioru E różnych od zq:

lirn f(z_n) = oo.

Definicja 3.12. Granicę funkcji zespolonej f w nieskończoności określamy następująco:

1 + "3

Przykład 3.13.

lim

1 + z²

°° 1 — z²

= lim

• lim

z² + 1

: -1.

Definicja 3.14. Funkcja zmiennej zespolonej f jest ciągła w punkcie Zq = x₀ + iyo, jeżeli

ii™ /W = /(*>)•

Twierdzenie 3.15. Funkcja zmiennej zespolonej f(z) = u{x, y) + iv(x,y) jest ciągła w punkcie zq = Xq + iyo wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista u(x, y) i część urojona v{x,y) funkcji f są ciągłe w punkcie (Xo,yo).

Funkcja / jest ciągła na zbiorze E, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

3.3 Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

Niech / będzie funkcją zmiennej zespolonej, określoną w pewnym otoczeniu E punktu z₀. Symbolem Az = Ax + iAy oznaczymy różny od zera przyrost zmiennej z, taki że Zq + Az G E.