CCF20091117017

69

GRANICE FUNKCJI - DEFINICJE

Korzystając z definicji, można także wykazać, że dana funkcja nie ma granicy. Pokażemy na przykład, że nie istnieje granica w +oo funkcji:

f(x) = sinx

Wskażemy mianowicie takie dwa ciągi argumentów rozbieżne do +oo, dla których :dpowiadające im ciągi wartości tej funkcji nie są zbieżne do tej samej liczby.

Niech a_n = nn, zatem hm a_n = +oo.

n — +co

Wówczas: lim f(a_n) = lim sinnTT = 0.    | sin nn = o dla n e N

n--bco    n--boo

Niech b_n = 5- + 2nrr, zatem lim b_n = +oo.

^    n — +oo

Wówczas: lim f(b_n) = lim sin (~ + 2nn) = 1. j sin + 2«tt) = i dla « e N Skoro lim sina„^ lim sinb„, więc funkcja f(x) = sinx nie ma granicy w +oo.

n — +co    n —+oo

Podobnie można wykazać, że funkcja y = sinx nie ma granicy w -co.

GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE

Rozważmy teraz następującą funkcję:

f(x) =

1

(x-2)2

Z wykresu można się domyślić, że:

lim f(x) = +oo

x — 2

Moglibyśmy to opisać za pomocą ciągów w następujący sposób. Jeśli wybralibyśmy jakikolwiek ciąg argumentów zbieżny do liczby 2, to odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f byłby zawsze rozbieżny do +oo.