2192973023

1 Liczby zespolone

1.1 Definicja liczby zespolonej

Wiadomo, że równanie x² + 1 — 0 nie ma pierwiastków (rozwiązań) w zbio-rze liczb rzeczywistych, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

„Rozszerzamy” więc ciało liczb rzeczywistych R w taki sposób, aby równanie x² + 1 = 0 miało w nowym ciele rozwiązanie.

Ciało liczb rzeczywistych utożsamiamy z „prostą liczbową”, na której ustalono punkt odpowiadający liczbie 0 i odcinek jednostkowy, którego koniec utożsamiamy z liczbą 1.

Niestety, na prostej nie można już znaleźć miejsca dla nowych liczb.

W tym celu do (geometrycznej) konstrukcji ciała liczb zespolonych zastosujemy płaszczyznę, którą będziemy nazywali płaszczyzną zespoloną.

Niech C oznacza zbiór R², czyli

C — {(ci, b) : fl € R A 6 6 R} .

W zbiorze tym określamy działania + i • w sposób następujący:

(a, b) • (c, d) = lac — bd, ad + bc

Zwróćmy tu jednak uwagę na fakt, że symbole + oraz • zostały użyte w dwóch znaczeniach; raz dla oznaczenia działań w zbiorze liczb rzeczywistych, a drugi raz dla oznaczenia nowych działań w zbiorze C.

Parę (a, b) będziemy nazywali liczbą zespoloną, a zgodnie z własnościami par uporządkowanych, liczby (a, 6) i (c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.

Liczby zespolone będziemy oznaczali krótko jako 2, Z\ lub podobnie. Wtedy mamy: z = (a, 6).

2