CCF20091117016

68

GRANICE FUNKCJI. POCHODNE

Analogicznie określamy granicę właściwą funkcji w minus nieskończoności:

Niech funkcja f będzie określona w przedziale (-00; a). Liczba g jest granicą funkcji f w minus nieskończoności, czyli lim f{x) = g, jeśli dla każdego ciągu argu-

X--00

mentów (x„) rozbieżnego do -00 odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Aby zdefiniować granice niewłaściwe funkcji w plus nieskończoności oraz w minus nieskończoności, wystarczy w podanych definicjach zastąpić liczbę g symbolem +00 (lub -00), a zwrot jest zbieżny do g — zwrotem jest rozbieżny do +00 (lub do -00). Oto przykład takiej definicji:

Niech funkcja f będzie określona w przedziale (a; +00). Funkcja f ma w plus nieskończoności granicę +00, czyli lim f(x) = +00, jeśli dla każdego ciągu argu-

X —+00

mentów (x„) rozbieżnego do +00 odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (/’(*„)) jest rozbieżny do +00.

Pokażemy teraz, jak można, korzystając z definicji, określić granicę w +00 następującej funkcji:

5x² + 4x 11 - 2x²

f(x)

Weźmy pod uwagę dowolny ciąg argumentów (x„) taki, że lim x„ = +00.

n — +00

Wówczas możemy obliczyć granicę ciągu (f(x„)):

lim f(x„)

n — +00

lim n — +co	5x^2 +4x„ _
	U-2x^2„
lim n —+00	^x«(^5 + ^) _
	"■((H
lim n — +00	5 + — Xn _ 4-2 ^xn
lim 5 n—+co	+ lim d- - , n H —-f co _ D + 0

lim 4~ lim 2    ^{0 2}

n—+00    n—+00

Korzystamy z własności granic ciągów: Jeśli lim x„ = +00, to lim 4 = 0,

17 —-rco    M — + CO ^An

a także lim Ą- = 0.

fi—1-00 XJj

Pokazaliśmy, że dla dowolnego ciągu (x„) rozbieżnego do +00 ciąg (f(x„)) jest zbieżny do -§. Wynika stąd, że:

lim f(x) = -1

X —+00    +