CCF20091117001

231

GRANICE CIĄGÓW

Granica to po łacinie limes i stąd pochodzi skrót lim. Ponieważ a_n = ¹ _n²ⁿ, więc podaną na poprzedniej stronie równość można zapisać inaczej:

lim 1=1n ₌ _₂

m—oo n

Granice ciągów' (b_n) i (c„) są równe 1 i 2, zatem:

lim (1-0,7") =1    lim (2 + fc^) =2

77 — oo    71 —oo \    Yl /

Spróbujemy teraz precyzyjniej określić, co to znaczy, że ciąg ma granicę. Rozwiążmy ciąg c_n = 2 + Ł:jGranicą tego ciągu jest liczba 2.

Wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale (1; 3). Natomiast w krótszym przedziale, na przykład (2-    2 + |), mieszczą się, oprócz trzech początkowych,

wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu.

c_n

l

1    n

Ogólnie mówiąc, dla dowolnie małej liczby dodatniej e (czyt. epsilon) w przedziale (2-f; 2+s) leży nieskończenie wiele wyrazów ciągu, a liczba wyrazów leżących poza tym przedziałem jest skończona. Mówimy wówczas, że prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale (2 - s\ 2 + a).

Cn

l-

1

   n

Uw^aga. Możemy też powiedzieć, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (c_n) różnią się od granicy tego ciągu o mniej niż s.