CCF20091117003

233

GRANICE CIĄGÓW

-A c_n = -in + 2

Dla dowolnej ujemnej liczby M można wskazać w tym ciągu taki wyraz, że wszystkie wyrazy następujące po nim są mniejsze od liczby M.

Innymi słowy — prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od dowolnej liczby M. O ciągach, które mają tę własność, mówimy, że są rozbieżne do -oo. Możemy więc zapisać równość:

lim (—-i-n + 2) = -00

77 — 00 \    3    /

d_n

-* d„ = (-l,l)ⁿ

-1,1, 1,21, -1,331, 1,4641, ...

W tym ciągu dla dowolnej liczby M nieskończenie wiele wyrazów jest większych od M i nieskończenie wiele wyrazów jest mniejszych od M. Jest to ciąg rozbieżny (choć nie jest on rozbieżny ani do +00, ani do -00).

Ciągi (b_n) i (c„) opisane powyżej są rozbieżne w sposób szczególny. Oto bardziej precyzyjne określenia ciągów rozbieżnych do +00 oraz do -00.

Ciąg (a„) nazywamy ciągiem rozbieżnym do +00, jeśli dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba naturalna k, że dla n > k zachodzi nierówność a_n > M.

Zdanie: „Ciąg (a„) jest rozbieżny do +00.” możemy zapisać w skrócie tak:

lim a„ = +00

77 — 00

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rozbieżnym do -00, jeśli dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba naturalna k, że dla n^k zachodzi nierówność a„ < M.

Zdanie: „Ciąg (a„) jest rozbieżny do -00.” możemy zapisać w skrócie tak:

lim a_n = -00

77 —co

Jeśli ciąg (a_n) jest rozbieżny do +00 (czyli lim a_n = +00), to mówimy, że ciąg ten

77-00

ma granicę niewłaściwą +00. Analogicznie jeśli lim a_n = -00, to mówimy, że ma on

77-00

granicę niewłaściwą -00.

Uw'aga. Gdy ciąg jest zbieżny, to jego granica nazywana jest granicą właściwą.