7 (1012)

48

48

Granice ciągów

O Ćwiczenie 1.1.13

a)    Dla n > 4 niech oz wpisanego w okrąg o proi

b)    Dla n > 3 niech S_n ozu niu I- Czy ciąg (S_n) jest j

O Ćwiczenie¹ 1.1.14

Znaleźć największy wyraz

a) a_n = 5n - n²;

o Ćwiczenie¹ 1.1.15

Znaleźć najmniejszy wyra: a) a_n = 2n² — lin;

Ciągi liczbowe

Uwaga. Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący (rys. 1.1.7 - 8). Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy monofonicznymi. Określenia ciągów monofonicznych są szczególnymi przypadkami definicji funkcji monofonicznych. Wprowadza się także pojęcie ciągów monofonicznych od numeru no € N. Mo-notoniczność dowolnego ciągu (a_n) możemy ustalić badając znak różnicy a_n+1 — a_n>

a monotonicznośc ciągu (b_n) o wyrazach dodatnich porównując iloraz - z 1.

b_n

Korzystamy wtedy z tabeli:

1		.; ^un	J................ 1
i_	> 0	>1	rosnący
L	< 0	.. L <^1	!■ malejący
	> 0	> 1	niemałej ący
L.	<0	„Lii	nierosnący I

O Ćwiczenie 1.1.10

Sprawdzić, że podane ciągi są rosnące: n- 1

n

3n + 1 dla n < 10, 2ⁿ~⁶ dla n > 10;

O Ćwiczenie 1.1.11

Sprawdzić, że podane ciągi są niemalejące:

; b) b_n = n + 10 -f \n — 10|; c) c_n = n + jsin

d)d_n=

a) a_n =

nl

g) Sn — ^ g¹) g_n = n¹⁰⁰ — n⁵⁰ -f- 1;

b) b_n= n² - n;

(3n)l (n!)³ ’ ^f1) fn = log_n+1 n; h¹) h_n = 5ⁿ-3ⁿ-2ⁿ.

nn

T

1.2 Granice ciągi

• Definicja 1.2.1 (granica

Ciąg (a_n) ma granicę właśc w postaci równości lim a_T

n—>oo

A V

Ciąg, który ma granicę w przeciwnym mówimy, że c: jego dostatecznie dalekie w lim a_n = a można pisać <

n—> oo

* Cl,

O Ćwiczenie 1.1.12

Zbadać, czy podane ciągi są monofoniczne od pewnego miejsca: 4n + 1

\    ^L±!i T J-    -v    /—A-

a) a_n ~ —    ■ ;    b) b_n = \/n² + 2n - n;

d) d_n = (l + M 5 e) _Gl = V2,    y/2 + 7_r

g) g_n = V2ⁿ + 1;    h¹) h_n = ⁿ⁺VnTl;

j¹) Jn -

c) C_n

100⁷

r

n!

57r

n

2

0 f_n= Sin j¹) i - (ⁿ‘) .

n -f 1 n + 2

n + n

a tl	©
a+£ a	G
	m&ś^1 -
	0
	12 3 4
	Rys. 1.2.

o/\ f

TA +- 1

AA

X' ^v ÓA

d

Aa f ą

A    -

aa f i r

-    t

t-f    ¹

A.

aa

U

7 'Tu -I ^    _ ( a '^h i ś

A )

)/

7°

1

0 0¹n —