CCF20091117013

63

GRANICE FUNKCJI - INTUICJE

• się zdarzyć, że funkcja jest określona w punkcie xo, ale granica w tym punkcie istnieje. Omówmy teraz taki przykład.

cyj się wykresowi na rysunku obok. Zastanów-się, jak zmieniają się wartości funkcji f dla rent ów zbliżających się do liczby 2.

że jeśli argumenty zbliżają się do 2, ale są przemian raz większe, a raz mniejsze od 2, to można wskazać jednej liczby, do której dążyły-wartości funkcji f. W takiej sytuacji mówimy, że f nie ma granicy w punkcie 2.

też, że jeśli argumenty zbliżają się do 2 z lewoj strony (czyli dążą do liczby mniejsze od 2), to wnrtości funkcji f dążą do liczby 5. Mówimy wówczas, że lewostronną funkcji f w punkcie 2 jest liczba 5. Zapisujemy to tak:

lim f(x) = 3

x —2“

argumenty zbliżają się do 2 z prawej strony, wartości funkcji f zbliżają się y 1. Mówimy, że granicą prawostronną funkcji f w punkcie 2 jest liczba 1. my to tak:

lim f(x) = 1

x — 2⁺

lim_ f(x) czytamy: granica funkcji f przy x dążącym do xo z lewej strony

X X

⁰ lub krócej: granica lewostronna funkcji f w punkcie Xq.

lim

x~xt

f(x) czytamy: granica funkcji f przy x dążącym do Xo z prawej strony lub krócej: granica prawostronna funkcji f w punkcie xq.

Na kolejnym rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji g. Możemy zauważyć, że w punkcie 4 funkcja g nie ma granicy, ale ma granice jednostronne — lewostronną oraz prawostronną:

lim g(x) = -1    lim g(x) = +oo

x —4“    x —4⁺

Funkcja ta nie ma także granicy w punkcie 0, ale ma w tym punkcie granice jednostronne:

lim g(x) = -oo    lim g{x) = +oo

x - er    x - o⁺

Uwaga. Można podać przykład funkcji, która w' żadnym punkcie nie ma ani granicy lewostronnej, ani prawostronnej. Taką osobliwy własność ma funkcja, która liczbom wymiernym przyporządkowuje 1, a niewymiernym -1.