0316

317

§ 1. Pojęcia podstawowe

Może się zdarzyć, że jedna z granic iterowanych istnieje, a druga nie. Tak będzie na przykład dla funkcji

1

jcsin—I- y

2)f(x,y) =--- lub 3) f(x, y)=xsin—.

x+y    y

W obu przypadkach istnieje tu granica iterowana lim lim /, ale nie ma granicy iterowanej lim lim /,

y-*0 *-»0    x-*0 y-+ O

a w ostatnim przykładzie nie istnieje nawet zwykła granica lim /.

y-* 0

Te proste przykłady wskazują na to, jak ostrożnym trzeba być przy przestawianiu dwóch przejść granicznych względem różnych zmiennych. Niejednokrotnie błędne konkluzje wynikały właśnie z takiego niepoprawnego przestawienia. Tymczasem wiele ważnych zagadnień analizy jest związane właśnie z przestawianiem przejść granicznych, jednak w każdym wypadku, rzecz jasna, dopuszczalność takiego przestawienia musi być osobno uzasadniona.

Jedną z dróg do takiego uzasadnienia otwiera następujące twierdzenie, które ustala jednocześnie związek między granicą podwójną a granicami iterowanymi.

Twierdzenie. Jeśli 1) istnieje skończona lub nieskończona granica podwójna

A= lim f(x,y)

x~*a

y~*b

i 2) dla każdego y z istnieje skończona granica zwykła względem x

ę{y)= limf(x,y) ,

x~*a

to istnieje także granica iterowana

lim ę(y)= lim lim/(x, y)

y-*b    y-*b x-*a

i równa się granicy podwójnej.

Udowodnimy to w przypadku skończonych A, a i b. Zgodnie z definicją z ustępu 163 dla danego e>0 istnieje takie <5>0, że

(9)    |/(x,y)-^j<£,

jeśli tylko \x—a\ <d i \y—b\<5, przy czym x bierzemy zl.ayzf. Ustalmy teraz y tak by spełniona była nierówność \y—b\ <6 i przejdźmy w (9) do granicy przy x dążącym do a Ponieważ ze względu na 2) f(x, y) dąży przy tym do granicy <p(y), otrzymujemy

|p(y)-y4|<e.

Biorąc pod uwagę, że y jest tu dowolną liczbą z spełniającą jedynie warunek \y—b\<3 dochodzimy do wniosku, że

A = lim ę{y)= lim lim f(x, y) ,

cbdo.

y-*b    y~*b x~*a