8592539737

Funkcje zespolone.

16

du

dy

= —e sin y = —

dv

dx'

Stąd funkcja / ma w każdym punkcie zo płaszczyzny pochodną

f(z₀) = eg cos y₀ + «eg sin y₀ = e^z°.

□

Pochodne drugiego i wyższych rzędów funkcji zmiennej zespolonej określa się tak, jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej:

dla n = 1,2,3,.

/M(*o + Az)-/⁽ⁿ⁾(*o)

Az

3.4 Funkcje holomorficzne

Definicja 3.22. Funkcję zespoloną f zmiennej zespolonej nazywamy funkcją holomorficzną w punkcie zq, jeśli ma pochodną f (z) w pewnym otoczeniu tego punktu.

Holomorficzność funkcji / w punkcie Zq jest własnością odnoszącą się nie tylko do samego punktu Zq, lecz także do pewnego otoczenia tego punktu. Funkcja holomorficzna w punkcie Zq ma w tym punkcie pochodną, ale nie na odwrót. Funkcja może mieć pochodną w punkcie zq i nie być holomorficzna w tym punkcie, gdyż może nie mieć pochodnej w żadnym otoczeniu punktu 20-

Przykład 3.23. Funkcja f(z) =| z |²= x² + y² = u(x,y) ma pochodną w punkcie zq = 0, gdyż

/(0)= lim

^J v / A

I A- I²

Az

lim

Az—*0

| Az |² -Az

Az P

= lim | Az I _e-^iaraAz

Az—*0

= 0.