chądzyński5

68 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

to funkcja h ma pochodną w punkcie zq i

(**)	ti{z0) -
Rozwiązanie. Z założenia i lematu 1.9.2 istnieje funkcja fi : Q -ciągła w punkcie w o taka, że		l i.
a)	f(w) = f(w0) + fi(w)(w - w0) dla w G Q	t t |
1 (2)	AW = f(wo) ^ 0.	1 % i

Wówczas z (*) i (1) dostajemy    |

(3)    z — z₀ = fi o h(z)[h(z) — h(z_Q)] dla z € U.

Z (2) i (3) wynika, że funkcja, fi oh nigdzie nie znika w U, jest ciągła | w punkcie Zq \ fi o H(zq) — f'{h{zf)). Stąd i z (3)    |

h(z) — h(zo) = hi(z)(z — zf) dla z 6 U,    l

gdzie hi := l/(/i°/i) jest funkcją ciągłą w punkcie zq. W konsck- | wencji, na mocy lematu 1.9.2, funkcja h ma pochodną w punkcie z₀ | i zachodzi (**).

To kończy rozwiązanie.    □ f

Zadanie 8. Niech T będzie gałęzią arcusa tangensa w zbiorze ot- | wartym G C C, tzn. taką funkcją ciągłą, ze    |

(*)    tgT(z) — ^ dla z G G.    I

Pokazać, że T jest funkcją holomorficzną i T'{z) = 1/(1 + z²).    |

't

Rozwiązanie. W myśl zadania 2.3.2, funkcja tg nie przyjmuje wartości I ±2, wiec z (*) wynika, że punkty nie należą do G. Ponadto dla | każdego z G G funkcja T jest ciągła, funkcja tg ma pochodną w | punkcie T(z) i tg^lT[z) = 1/ cos² T(z) 0 oraz zachodzi (*). Zatem, f na mocy zadania 7, funkcja T jest holomorficzna i T'{z) = cos² T(z). ! Ale cos² T(z) - 1/(1 + tg² T(z)) -1/(1 + z²).

To kończy rozwiązalne.    □

Zadanie 9. Niech T będzie gałęzią arcusa sinusa w zbiorze otwartym <_: G C C, tzn. taką funkcją ciągłą, że    l

(*)    sin T(z) = z dla zgG.    \

4.2. TWIERDZENIE CAŁKOWE CAUCHY’EGO DLA PROSTOKĄTA 69

Pokazać, ze T jest funkcją holomorficzną, T'(z) = 1/cos TM i cos oT jest w G gałęzią potęgi (1 — z²)¹'².

Rozwiązanie. Zauważmy, że punkty ±1 nie należą do G. Istotnie, w przeciwnym razie, gdyby na przykład punkt 1 należał do G, to istniałyby sąsiedztwo tego punktu i w nim gałąź arcusa sinusa, co jest sprzeczne z zadaniem 2.5.12.

Z powyższego i z (*) wynika, że dla każdego z E G mamy sin TM ^ ±1. Stąd sin'TM = cos TM ^ 0. Ponadto funkcja T jest ciągła i zachodzi (*). Zatem na mocy zadania 7 funkcja T jest holomorficzna i T'{z) — 1/ cos T(z) dla każdego z E G.

Zauważmy jeszcze, że funkcja G 3 z t-+ cos T(z) € C jest na zbiorze G gałęzią potęgi (1 — 2²)¹/². Istotnie, jest ona ciągła i [cos T (•s)]² = 1 — [sin T(z))² — 1 — z².

To kończy rozwiązanie.    □

4.2. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego dla prostokąta

Niech h : 3R ~■> C będzie funkcją ciągłą i u — Reh, v — Im h. Przyjmujemy ffjf h{t)dt f*™ u(t)dt -f- i v(t)dt. Mówimy, że całka ffjfj h(t)dt jest zbieżna, gdy całki po prawej stronie są zbieżne.

Zadanie 1. Pokazać, że całka

* + DC

(*)

/-)-DC

exp[— (t + ia)²]dl, a E R

■OO

jest zbieżna i nie zależy od a. Korzystając ze znanej równości

f^+a0 _ ₂

/ e ¹ dt — VtF,

J —OO

pokazać, że

/+00    2    2

e^_t cos 2atdt =    .

■00

Rozwiązanie. Niech dalej f(z) = exp(—z²) dla z E C. Wówczas

(1)    |/MI = e~^a’^2+y2, gdzie x — Re 2, y — Im z.

Z (1) mamy |Re/M! < e~^x2+y~ i |Im/MI < e~^x2+y2. Stąd, korzystając z własności całek niewłaściwych w dziedzinie rzeczywistej i