0177

178

III. Pochodne i różniczki

24) Zakładając, że funkcja f(x) ma pochodną /'(■*)> napisać pochodne względem x, funkcji (a) sin/U),    (b) e^f(xy,    (c) ln/(x)

i względem t funkcji Odpowiedź:

(d)/(sinr),    (e)/(<?'),    (f) /(lnr).

(a) cos/U) •/'(.*•) ;    (b)    ;    (c)

/'(*)

m'

(d) /'(sin t) • cos / ;    (e) f'(e) ■ e ;    (f) /'(ln l) •

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że w ostatnich trzech przypadkach (d), (e), (0, symbol /'(...) oznacza pochodną względem argumentu x, od którego zależy funkcja f(x), ale odpowiednio dla wartości tego argumentu x=sin t, e', ln /, zależnych już od t. Porównaj odsyłacz na str. 173.

25)    Funkcja f(x) określona w przedziale symetrycznym względem 0 nazywa się parzystą, jeśli /(—x)=/(x), i nieparzystą, jeśli / (—*)= — /(x). Jako przykłady funkcji parzystych mogą służyć potęgi parzyste x², x*, .... oraz funkcje cos x, cosh x; przykłady funkcji nieparzystych: potęgi nieparzyste x, x³, sin x, sinh x.

Udowodnić, że pochodna funkcji parzystej, jeśli istnieje, jest funkcją nieparzystą, a pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą.

26)    Obliczyć pochodną funkcji y=ln|x| dla x>0 i x<0.

Dla x>0 jest oczywiście y’= \/x; wykażemy, że ten sam wzór pozostanie w mocy dla x<0. Rzeczywiście, obliczając pochodną funkcji

y=ln|x|=ln(-x),

jako funkcji złożonej, otrzymujemy

1    1

*'=-•(-U—

—X    X

również i w tym wypadku.

27)    Rozpatrzmy krzywą

y*=ax^m (m>0) .

Współczynnik kątowy stycznej do niej w pewnym jej punkcie (x, y) jest [91 - 92] równy

tg a=y’ = max^m~¹ .

Z rysunku 40 widać, że odcinek TP (tak zwana podstyczna) jest równy

x

m

tg a max

Okoliczność ta ułatwia samą konstrukcję stycznej (Uogólnienie wyniku z ustępu 91).

28) Dla krzywej

y=acosh— (a> 0) a

(linia łańcuchowa) w podobny sposób jest

tga=y'=sinh •

Tym razem, zakładając, że x> 0, wyznaczymy

1

■Jl+tg²a

1 +sinh

cosh

a

x y