Załóżmy, że funkcja / ma w punkcie xq pochodną,. Wówczas przy x dążącym do xq sieczne wykresu funkcji / przechodzące przez punkt Pq (patrz rysunek) „zbliżają się” do prostej, zwanej styczną do wykresu funkcji w punkcie Pq.
Przypomnijmy, żc iloraz różnicowy ^ jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna PqP tworzy z osią OJ.
Pochodna funkcji f'(xo) jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji / w punkcie Pq (xq , f(x o)) tworzy z osią OX (/'(.£ o) — tg a na rysunku powyżej).
Liczba f(xo) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji / w punkcie (^0,/(^o))-
Zauważ, że o ile styczną do okręgu można zdefiniować jako prostą mającą z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny, to w wypadku stycznej do wykresu funkcji takie określenie byłoby niepoprawne.
Prosta l jest, styczna do okręgu w punkcie P. Prosta. I ma. z okręgiem jeden punkt wspólny.
Prosta l ma jeden punkt wspólny z wykresem funkcji /, ale nie. jest jego styczną.
Prosta l jest styczną do wykresu funkcji / w punkcie P i ma trzy punkty wspólne z tym wykresem.
Przykład 2
Oblicz miarę kąta, jaki styczna do wykresi w punkcie (1,1) tworzy z osią OX.
f'( 1) = - lim — Hm ——- lim
' v ' x—x-l x—* i x-l x >1
= lim (x2 -f x + 1) = 3
X—>1
Zatem tg a = 3, stąd a ~ 72°.
Ćwiczenie 4
Oblicz współcz
a) f(x) = x2. . ZADANIA _
1. Oblicz poci:
a) f(x) = i.
b) f{x) = 3-r
2. Na rysunku wykres funk
a.) Oblicz vo: we siecznych F znacz ich równam*
b) Oblicz ”.>t wy stycznej poprowadzeń
3. Oblicz miarę -w punkcie
a) f{x) = P.
4. Przeczytaj p. i -
Przykład
Uzasadnij, z chodnej w -
lim -jC(“ -
x- >0+
lim ~- =
x_>o x-
Oznacża te. z ma pochodu-'
v____
Uzasadnij, że :
286 5. Rachunek różniczkowy