25844

Fakt 6.1.8 (interpretacja geometryczna twierdzenia Fermata)

Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie istnieje styczna do wykresu funkcji, to styczna jest pozioma.

Fakt 6.1.9 (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Tw. 6.1.10 (1 warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -<» <, a < b < «> oraz niech xo e (a,b). Wówczas, jeżeli

1.    f'(*o) = 0,

f(*)>0 dla każdego xe (x₀-S, x_Q\ f'(x₀)<0 dla każdegoxe (x^,x₀ + <5), to funkcja f ma w punkcie xo maksimum lokalne właściwe.

Uwaga. Zamiast założenia 1 tego twierdzenia można przyjąć, że funkcja /Jest ciągła w punkcie xo. Natomiast zamiast założenia 2 można przyjąć, że funkcja /Jest rosnąca i malejąca odpowiednio na przedziałach (x₀ - $,x₀), (x_a x₀ + S).

Twierdzenie o minimum lokalnym właściwym jest analogiczne.

Tw. 6.1.11 (II warunek w ystarczający istnienia ekstremum)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -oo < a < b < °° oraz niech xo e (a,b). Wówczas, jeżeli

1.    istnieje f ⁽ⁿ⁾(x₀), gdzie n > 2,

2.    r(*,)=/■"(*.)=...=/•^,"^i,(x₀)=o,

3.    f‘"’(x₀)< 0,

4.    n jest liczbą parzystą,

to funkcja f ma w punkcie xo maksimum lokalne właściwe.

Uwaga. Jeżeli założenie 3 twierdzenia ma postać „ f^ln)(,x₀)>0”, to funkcja f ma w punkcie xo minimum lokalne właściwe. Natomiast jeżeli założenie 4 ma postać „n jest liczbą nieparzystą”, a założenie 3 postać „ f ⁽ⁿ⁾(x₀) * 0 ”, to funkcja f w punkcie Xo nie ma ekstremum lokalnego.

Fakt 6.1.12 (algorytm szukania wartości ekstremalnych funkcji)

Niech funkcja f ' [a,b}-> R będzie ciągła na przedziale [a,b] i różniczkowa Ina poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy postępując według algorytmu:]

1.    znajdujemy punkty Cj, c₃, ..., c„ zerowania się pochodnej funkcji f na przedziale (a,b) oraz punkty di, d₃, ..., d_m, w których pochodna tej funkcji nie istnieje;

2.    obliczamy wartości funkcji f: w punktach końcowych a, b; w punktach zerowania się pierwszej pochodnej ci, o, ..., c_n oraz w punktach bez pochodnej di, d* ..., d_m\

3.    spośród liczb f[a), f[b); f{c_t), /(c^), ..., f[c_n) oraz f[di), f[d₂), ..., f{d_m) wybieramy najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartości najmniejsza i największa funkcji f na przedziale [a,b].

6.2 FUNKCJE WYPUKŁE I WKLĘSŁE

Def. 6.2.1 (funkcja wypukła)