60886

Jeżeli funkcja ^ ma w otoczeniu punktu    pochodne cząstkowe ciągłe, to w tym punkcie istnieje

pochodna cząstkowa w kierunku dowolnej półprostej ‘ i wyraża się wzorem:

ai'^Cp) =S^(F)a+    _gdzje l:U = x₀ +    a² + p¹ = 1_# t > o

Analogicznie dla funkcji większej ilości zmiennych.

Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcja ^ ma w otoczeniu punktu    pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech

(^x,y) będzie dowolnym punktem z tego otoczenia. Wówczas na odcinku łączącym punkty    i (**>')

istnieje punkt    taki, że:

f(x.y) =/(* o.y_c) +

^d/(x₀.y₀Xx - x₀.y - y₀) +j,d²fCx₀.y₀)(x -x₀.y - *,) + - + ^7dⁿ-^ł/Gr₀.yo)Cx - x₀.y- y₀) + ^d^R/tx₀.ybXx-^xo->’ ->’o)

Równość powyższa nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Ostatni składnik w tym wzorze nazywamy n-tą resztą i oznaczamy ^R°. Jeżeli punkt    ^ to wzór Taylora nazywamy

wzorem Maclaurina.