60887

będzie półprostą wychodzącą z punktu P.

Pochodną cząstkową ćl    funkcji f w kierunku

1    P

połprostej * w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje): Jf(.X₀,y₀) =

fbc₀ + at. Yo+fit)- fbc_Q.y_Q)

lim-

r-o*    t

. wektor, zeloten,.: ^M * v'5⁷+P^Z = 1

Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu punktu    pochodni

cząstkowe ciągłe, to w tym punkcie istn»eje pochodna cząstkowa w kierunku dowolnej połprostej * i wyraża się wzorem:

ffCP) «?<»-«+?<»•*

•^l **    *>'    .gdzie

l:lx = x„ + at.y = )% + /W) a²+/?² = l t>0

Analogicznie dla funkcji większej ilości zmiennych.

Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcja ' maw otoczeniu punktu

(*-y)

pochodne

cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech ^ będzie dowolnym punktem z tego otoczenia. Wówczas na odcinku łączącym punkty    i ) istnieje punkt    taki.

że:

fb.y) =f (**&) +

*iy »• >    tyj a*¹ -¹ jzs*    ««r a:¹

Równość powyższa nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Ostatni składnik w tym wzorze

nazywamy n-tą resztą i oznaczamy ^D. Jeżeli punkt

(AT^yp) — (0.0) _tQ y^ór Taylora nazywamy wzorem Maclaunna.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

(y

^yy>' ^J - przestrzeń metryczna; f:X — R

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie ^X° maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje otoczenie punktu ^X°. takie ze dla każdego ^X z tego otoczenia zachodzi nierówność f(jx) S (S) f(x₀) _Dla p|_{aszczyzny z} metryką euklidesową f ma maksimum (minimum) w punkcie    jeżeli

istnieje ^ ^> ® takie że:

fb.y) Ste) /^,(x»y₀)

_di_aCr-xo)² + (y-yo)² <*²

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji n-zm lennych.

Jeżeli funkcja * ma pochodne cząstkowe w punkcie i w tym punkcie f ma ekstremum lokalne, to: ^(x₀.y₀) = ^(x_(>.y₀) =0 Dowód:

Określimy funkcję

<pCx) = /(*.*>)

(xo,y_e)