img070

70

(j - 1,

n)

(6.5)

Wzory (6.4) i (6.5) noszę nazwę reguły wyznaczania pochodnych cząstkowych funkcji złożonej.

Przykłady

i. Niech ftR² 9 (x_iaXg)    '-'*^z f\^,r2 3 (^rxi * ^{r cos}

f _: R² 9 {r ,<f) —* x- - r s in ^ . Wówczas

dF	dF ^dxl	dF	dx2	,y v3
dr "	5^7 5T- ^+		ar	^2xl^x2
dF	3F ^dXl	dF	dx2	„3
37*	357 T		W*	^2x1^x2

.2 2

.2 2

3est oczywiste, że otrzymane wzory na pochodne cząstkowe || i nie eę w pełni dokładne i obliczając wartość tych pochodnych w określonym punkcie, należy skprzysteć ze wzoru (6.4).

2

2. Niech F:R² 9 (x,y)f(xy), gdzie f:R-»R ma pierwszy pochodny na całej osi liczbowej. Wówczas

dF

§| (x.y) ■ -    ♦ yf'(xy) . || (x,y) * §£ ♦ xf'(xy)

i można łatwo sprawdzić, że funkcjo F spełnia następujące równanie

x² ||-(x,y) - xy || (x,y) ♦ y² - O

Różniczka zupełna

Niech f będzie funkcję rzeczywisty określony w pewnej kuli o środku w punkcie aeR°. W dalszym cięgu przyrosty zmiennych niezależnych, które w definicji 5.3 oznaczaliśmy przez hj,*..,h_n będziomy nazywać różniczkami zmiennych niezależnych i zgodnie z tradycję będziemy ję oznaczać przez dx_J#...,dx_n. Tak więc dx_t ■ h_t dla i • l,...,n. Definicja 6.1. Część liniowy przyrostu wartości funkcji

f :Rⁿ DK(a,r) —► R

aajęcej wszystkie pochodne częstkowo w punkcie a, tzn, wyrażenie