240(1)

stwierdzamy, że wyznaczona pochodna jest funkcją tylko stosunku zmień-y

nych —, czyli krótko, że jest to równanie jednorodne względem .v iy.

Wprowadzamy zatem nową zmienną u, przyjmując y = ux (przy tym

oczywiście ~ — u-\-x~) i po podstawieniu tej zmiennej do danego

równania, przekształcamy je na równanie

du 1-fu²    ,    ,    1—k² ,

u \    — albo xdu = •■■. - dx

dx 2u    2 u

'    2 udu dx

Rozdzielając zmienne, -r— = —, i całkując, znajdujemy

— In11 — ił\ — ln ,vj — InC albo x(l — w²) = ±C — C, Eliminując teraz-pomocniczą, funkcję w, czyli wracając do zmiennych

wyjściowych jc i y (z/ = ^. ) , znajdujemy ostatecznie: y¹ = x¹—C_lx.

2) Najpierw ustalamy, że jest to rzeczywiście równanie jednorodne względem x i y

a następnie wprowadzamy zamiast y nową funkcję, przyjmując v = ux, co prowadzi do równania o zmiennych rozdzielonych

du

x—r~ = «ln« dx

dx

u-J-jc — w(l+Inw) albo

Mnożąc obustronnie to równanie przez    , rozdzielamy zmienne

du _ dx «lnu x

i całkujemy

/^d]nu~ ⁼ ) “+^ln^ ^{ln ,nM}l = ^In!*l+^lnC

Uwalniając się od logarytmu (potęgując) oraz eliminując pomocniczą funkcję u, znajdujemy szukaną całkę ogólną

|lnn] = C|*|; u — e^ClX; y — xe^c,x

3) Po stwierdzeniu, że dane równanie jest równaniem jednorodnym względem x i y

podstawiamyy = ux i otrzymujemy równanie

■xu =

1 -u

albo

du _ u² dx 1 — u

Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu, otrzymujemy

~~ du =    ln >| = ln|*|-C

albo    ln Jjcw| = C.

Wracając do zmiennej y, znajdujemy całkę ogólną

* = XC-ln|y|)

Podstawiając dane wartości zmiennych y — 1 oraz x = — 1, znajdujemy

C — — 1.

Szukana całka szczególna równania będzie miała postać

x = —y(l+ln|y[)

Rozwiązać następujące równania:

1078. y-xy' = x+yy'    1079. ydy+(x-2y)dx = 0'

1080. ydx+(2\/xy-x)dy = 0    1081. y = .vO’-| 7)

1082. (y²—3x²)dy+2xydx = 0, przy warunku >•( 1) = —2

1083*. y xy' — ,xsec ^ , przy warunku y(l) = n

§ 4. Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu i równanie Bernoulliego

Liniowymi nazywamy równania różniczkowe o postaci

y'+P(x)y = Q(x)

w których y i y' występują w pierwszej potędze (liniowo) i w których P(x) ¹ 2(x) są znanymi funkcjami .v.

V

31*

483