040(1)

Wyznaczyć pochodne następujących funkcji:

A $

148. y =. (2 —3.v) 150. y — ętg [ x-

152. u = sin at cos — a

154. v 150. y

i

(1 + sin 4.y)³ sin x

149. y — sin(2x — 1)

151. z = j/x-j- k x 153. r — 2 cos²

155. s = ^ tg³ z- tgz-|-2

2 cos² x

157. r

tgatp — b sec acp

158.    >' — sin² x— sin X²: obliczyć y'(0)

x    a

159.    y = cos • cos ; obliczyć y'(o)

160

*. z— | 1— cosx⁴; ₍obliczyć ?'| j/^ yj

§ 4. Pochodne funkcji wykiaćn^:ezych i logarytmicznych

Wzory ogólne i przypadki szczególne:

10) (a^uY = c“ In a ■ u    11) (iog u)’ — ^U log e

lOa) (<?“)' = e“ ■ u’ lOb) (a^x)' = a^x ■ ln a lOc) (e^x)' = e^x

1 la) (lnu)' =

u

r

u

11 b) (!ogx)' = ^ log-e

lic) (lnx)'

Przy różniczkowaniu funkcji logarytmicznej o podstawie a ^ e wyrażamy ją najpierw przez funkcję logarytmiczną o podstawie e, na podstawie * wzoru

log_a u — log_ae • ln u

161. Wyznaczyć pochodne następujących funkcji:

1)    y = _xⁱ - 3^X

²)    f(x) = \ 3 +    +6¹ '*; obliczyć /'(1)

5) y ^\n~ę_x2-    6) y = ln j/j^r l    obliczyć /(0)

Rozwiązanie: 1) Daną funkcję różniczkujemy jako iloczyn, korzystając z wzorów 5 i lOb

/ = (x¹)'3*+x?(3^x)' = 3x²3*+;c¹3^xln3 = ;r3^x(3+;dn3)

2) Wprowadzamy ujemne i ułamkowe wykładniki, a następnie różniczkujemy funkcję jako sumę, korzystając z wzoru 10

/'(*)= (3* +2~^5X +6**): =

= 3* ln 3 ■    +2-^5xln2 • (-5*)'+6^x2 In 6 • (x^T) =

ii    , _i i

= - _T3Mn3-5 • 2-^5xln2-h-.r ²6^x'ln6 x^l    2

Dla x = 1, znajdujemy

/'(1) = — 31n3 — ⁵^-+31n6 = |l- ln 2 ^{J K} ’    32    32

y = (ln cos 3*)' =

(cos 3x)’ cos 3.x

3 sin 3x cos 3.v

—3 tg 3x

4) W tym przypadku przekształcamy najpierw tożsamościowo daną funkcję

r= (nfic-y+lgó+lgę) — 4 • ^ lg?⁵ == (nócy-f lg5 — Igelny

i następnie różniczkujemy wg wzorów 1 Ob i 11 b ^C[^r = (abcY ln (abc)—

5) Aby uprościć różniczkowanie, najpierw zastępujemy logarytm ułamka różnicą logarytmów licznika i mianownika

₂ *

y = ln    = ln(u²-y)-ln(a²+y)

a-+x~

6* 83

1

Zgodnie z wzorami 1 la i 7, mamy