48 (379)

104

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Zadania

) Zadanie 2.1

Obliczyć:

a) sin(—2i); b) cos(l + i);    c) Log(-4);

d) log(—4);    e) Log (V5 + i); f) log (-^3 + i).

) Zadanie 2.2

Dowieść, że:

a) sin" z+cos² z = 1; b) sin (z\ + z2) = sin z\ cos zi + cos z\ sin Z2;

c)    = e^Zle^ia; d) e^z+2t’^ri = e* dla k £ Z\ e) e* # 0 dla każdego z G C

) Zadanie 2.3

Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną podanych funkcji:

a) f(z) = z²; b) /(z) =    c) /(z) = iz³ + z;

1

d)/(z)=sinz; e) f(z) = ch z; f)/(z) = e".

' Zadanie 2.4

Pokazać, że istnieją liczby zespolone z takie, że: |sinz| > 1, |cosz| > 1. Zadanie 2.5

Rozwiązać podane równania: a) e^,+I = —4; b) e^z — e^Rez; c) cos z = —2; d) sin z = i.

Odpowiedzi i wskazówki

2.1 a) —ish 2; b) cos 1 ch 1 — isin 1 sh 1; c) {ln 4 + xi + 2kxi, k £ Z}; d) ln 4 + x«;

2.4 Na przykład z = 2i jest dobre dla obu funkcji. Jeden ze sposobów rozwiązania tego zadania polega na zapisaniu f(z) w postaci u(x, u) + iv(x,y) (porównaj Zadanie 2.3).

2.5 a) ln 4 + (x — l)i + 2kxt, gdzie k £ Z\ b) lic. by postaci z = x + 2fcx«, gdzie k £ Z\

c)    -iln (2 + -n/3) + x + 2kir, gdzie k £ Z, oraz —i ln (2 — y/Tj + x + 2fcx, gdzie k £ Z\

d)    — t ln (l + 1/2) + x + 2fcx, gdzie k £ Z, oraz — 1 ln (\/2 — l) + 2fcx, gdzie k £ Z.

Trzeci tydzień - przykłady

105

Trzeci tydzień

Przykłady

Przykład 3.1

Wyznaczyć wzór odwzorowania w = /(z), gdzie z € C, jeżeli / jest:

a)    translacją o wektor (3, —2);

7r

b)    obrotem o kąt —;

u

c)    jednokladnością w stosunku 5 o środku z = 0;

d)    symetrią względem punktu z = 0;

e)    symetrią względem prostej y = —z.

Rozwiązanie

a)    Ponieważ dodawaniu liczb zespolonych odpowiada dodawanie wektorów na płaszczyźnie zespolonej, więc translacja ta jest dana wzorem

f(z) = z + (3 - 2i).

b)    Wykorzystamy fakt, iż przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły się mnożą, natomiast argumenty dodają. Zatem by nie zmienić modułu, a do argumentu dodać —,

ó

Ǥ

wystarczy liczbę zespoloną z pomnożyć przez e , gdyż

e

Tak więc szukane odwzorowanie dane jest wzorem

c)    W tym przypadku moduł liczby zespolonej z ma zostać pomnożony przez 5, zatem

/(z) = 5z.

d)    Przy symetrii względem z = 0 punkt x + iy = z przechodzi na —i — iy = —z. Zatem szukane odwzorowanie dane jest wzorem

/(z) = -z.

e)    Przy symetrii względem prostej y = —i punkt z-f iy = z przechodzi na —y — ix = — >z. Zatem szukane odwzorowanie dane jest wzorem

/(z) = -iz.

Przykład 3.2

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt z₀ = 2 + 3i prostopadłej do prostej z(f) = 3 + (—4 -f 2ł')<, gdzie ł £ R. Wykonać rysunek.