chądzyński4

104 6. FUNKCJE REGULARNE

Rozwiązanie. W myśl zadania 6.1.3 funkcje 1/ sin nz, ct.g nz są mero-morficzne w C i bieguny mają w zbiorze {z £ C : sin7tz — 0} = Z. Ponadto ord_fc sin nz — 1 dla k E Z. Stąd, w myśl zadania 5.3.1, ordfc(l/ sin nz) — ordfcCtgTrz = — 1 dla k £ Z, czyli funkcje l/sin7r2, ct,g7T2: mają w zbiorze Z bieguny jednokrotne. Ponadto, w myśl zadania 4 dla k £ Z, mamy

resfc 1 / sin n z = 1/ncosirk = (—l)^fc/-7r, resfc ctg 7rz — resfc cos nz j sin nz = cos nkjn cos nk = \ jn

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 6. Niech f będzie funkcją regularną w zbiorze otwartym G C C, P C C prostokątem normalnym i dP jego dodatnio zorientowanym brzegiem. Pokazać, ze jeżeli funkcja f nie ma punktów osobliwych na

\dP\, to

w

gdzie zi,...,z_n są wszystkimi punktami osobliwymi odosobnionymi funkcji f leżącymi w P (twierdzenie o residuach dla prostokąta).

Rozwiązanie. Niech A będzie zbiorem punktów osobliwych odosobnionych funkcji /.

Z zadania 6.2.2 mamy    j

dla a £ Int P, dla a £ C \ P.

Stąd dostajemy

indflp(a) = 0 dla a £ C \ G,

{zi,..., z_nj = {a 6 A : md_dP(a) ± 0),

indtfp^fc) = 1 dla k = 1,..., n.

W konsekwencji, stosując twierdzenie 1.39.1 dla cyklu mujemy (*).

C — dP, otrzy-

To kończy rozwiązanie.

□

6.4. Sumowanie szeregów

Zadanie 1, Niech P i Q będą dwoma wielomianami, przy czym deg P < deg Q i Q(z) ^ 0 dla z £ Z. Pokazać, że jeśli Ci,---Xs są zerami wielomianu Q, to

(*)

gdzie

Rozwiązanie. Z zadań 6.3.5 i 6.1.3 wynika, że funkcje /_1} /₂ są mero-morficzne w C. Mają one z założenia bieguny £_1?..., £_s- £ C \ Z i bieguny jednokrotne w zbiorze Z, pochodzące od funkcji ctg ttz albo od funkcji l/sin7rz. Wówczas, z zadań 6.3.3 i 6.3.5, dla k £ Z dostajemy

(1)

(2)

Oznaczmy przez I_n kwadrat o wierzchołkach (n+ l)(±l ±i) dla n £ N. Weźmy teraz liczbę no £ N na tyle dużą, by wszj^stkie liczby C17 - - - j £ Int/_no. Wtedy dla n > n₀, na mocy twierdzenia o residuach dla prostokąta (zadanie 6.3.6) i wzorów (1) i (2), dostajemy