chądzyński
7

24 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Ponieważ równania (b) i (13) są równoważne, więc z (1) i (7) dla a ~ — 1 wynika, że wszystkie zera równania (b) dane są wzorami

TT + 2nk _    „    „ . . , ,    , x ,_n

Zk = ~ tg———, k — 0,. ..,n - 1 i k ^ {n — l)/2.

Zatem dla n parzystych równanie (b) ma n rozwiązań, a dla n nieparzystych n — 1 rozwiązań.

Rozważmy na zakończenie równanie (c). Oznaczmy lewą stronę równania (c) przez f_c{z). Łatwo zauważyć, że f_c(z) = f_a(^z) + fb(z)-Stąd, na mocy (8) i (11), dostajemy

(14)    f_e(z) = (1/2) (1 - ż) [(1 4- iz)ⁿ 4- i{ 1 - iz)ⁿ].

Z (14) wynika, że równanie (c) można zastąpić równaniem równoważnym

(15)

Liczba i nie jest zerem równania (15), zatem można zastąpić je równaniem równoważnym

(16)

Ponieważ równania (c) i (16) są równoważne, więc z (1) i (7) dla a = i wynika, że wszystkie zera równania (c) dane są wzorami

(?r/2) 4- 2trk

Łatwo zauważyć, że dla każdego k mamy k / (2n 4- l)/4. Zatem wszystkie zera równania (c) dane są wzorami

, A: = 0,..n — 1.

□

To kończy rozwiązanie.

2.4. Logarytm, potęga i inne funkcje wieloznaczne

Zacznijmy od oznaczeń, których będziemy używać w tym podrozdziale. Dla a € C i Z, Zi,Z-z C C wprowadźmy oznaczenia a Z {ciz : 2 6 7}, Z\ + Zi {zi -f ^2 6 C ; ą G Z\ i ^ G Niech ponadto vz² — 1 oznacza wartość główną potęgi (z² — l)^ly/2 dla z / ±1 i y/0 = 0.

2.4. LOGARYTM, POTĘGA I INNE FUNKCJE WIELOZNACZNE 25 Zadanie 1. Pokazać, że jeśli 24, z₂ £ C^x, to

(i)    log 24 + log 2₂ = log z₁ z₂,

(ii)    log z₁ - log z₂ = log z_l/z₂.

Wskazać liczby z_lf z₂ £ C^x, dla których

(iii)    Log 24 -f Log z₂ Ź Log 24 z₂, i liczby z\, z₂ £ C^x, dla których

(iv)    Log z₁ - Log z₂ 7^ Log 24 /z₂.

Rozwiązanie, (i). Weźmy dowolny punkt w £ log 24 + log z₂■ Wówczas istnieją punkty w_1} w₂ takie, że W\ £ log 24, w₂ £ log z₂ i w — wi + w₂. Z definicji zbiorów log i własności funkcji exp dostajemy exp Wi — z i, exp iU‘2 — z₂ i exp(ici + w₂) = Z\Z₂. Stąd w € log z_Yz₂.

Odwrotnie, weźmy dowolny punkt w £ log 24 z₂ i punkty W\ £ log 24, uh £ log z₂- Wówczas z definicji zbiorów log i własności funkcji exp dostajemy expw — ZjZ₂ = exp(ic₁ + w₂). Stąd, w myśl własności I.ll.l(e), istnieje liczba całkowita k taka, że w = w\ -f w₂ + 2kni. Kładąc w₂ — w₂ + 2km, otrzymujemy w — itą -f- vĄ, ną € log24, w% £ log z₂. Zatem w £ log 24 -i- log z₂.

(ii). Weźmy dowolny punkt w £ log 24 — log 24. Wówczas istnieją punkty w\ £ log 24, w₂ £ log z₂ takie, że w = Wi — w₂. Podobnie jak powyżej, expuą = 24, exp w₂ — z₂ i exp(u;₁ — w₂) — 24/24. Stąd w £ log zifz₂.

Odwrotnie, weźmy dowolny punkt w £ log 24/z₂ i punkty W\ £ log 24, w₂ £ logz₂. Podobnie jak powyżej, expic = zi/z₂ = exp(w! -w₂). Stąd, w myśl własności I.ll.l(e), istnieje liczba całkowita k taka, te w = Wi—w₂+2hiri. Kładąc w₂ — w₂—2kni, dostajemy w ~ Wi~w₂, Wi £ log 24, w₂ £ log z₂. Zatem w £ log 24 — log 24.

W (iii) można przyjąć 24 = — 1, z₂ — — 1, wtedy LogZx = Log 24 — ni, Log 2424 = 0. W (iv) możemy przyjąć z 1 = -i, 24 — i, wtedy Log 24 = —ni/2, Log z₂ — ni/2, Log 24/24 = ni.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech dla z £ C

arcsiriz := {w 6 C : sinic — z}.