chądzyński
8

26

2. FUNKCJE ZESPOLONE

Pokazać, ze

arcsin 2: = (1/z) [log i (z — \J z² — 1) U log i(z + \J z¹ — 1)].

Każdy element zbioru arcsin z nazywamy wartością arcusa sinusa liczby z.

Rozwiązanie. Rozwiązanie wynika z następującego ciągu oczywistych równoważności

(w G arcsin z) 44 (sin w — z) 44 (exp iw — exp(—iw) — 2iz) 44 (exp 2rw — 2iz exp iw ~ 1 — 0)

44 ((exp iw — iz)² 4- (z² — 1) = 0))

44 ^exp 2ic = iz — iy/z² — 1 lub exp iw = 22: + i\/2² —

44 G (1 /Z) [log Ż(2T — VZ² — 1) U log 2(2 + VZ² — 1]

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Niech dla z G C

arccos 2 := {ze G C : cos u; — z).

Pokazać, że

arecosz = (l/?)[log(2 — V z² — 1) U log (z + Vz² — 1)].

Każdy element zbioru arccosjz nazywamy wartością arcusa co sinusa liczby z.

Rozwiązanie. Rozwiązanie wynika z następującego ciągu oczywistych równoważności

(?/> G arccosz) 44 (cos w — z) <4 (exp iw + exp(—na) = 2z) 44 (exp 2żtc — 2z exp iw +1 — 0)

44 ((exp iw — z)² — (z² — 1) — 0)

44 (exp iw — z — Vz² — 1 lub expńc = z + Vz² — 1 j 44 (w G (I/2) [log(z — Z² — 1 ) U log(2 + \/Z² — l)j j .

To kończy rozwiązanie.    D

2.4. LOGARYTM, POTĘGA I INNE FUNKCJE WIELOZNACZNE

Zadanie 4. Dla jakich liczb z G C każde dwie wartości arcusa sinusa liczby z różnią się o wielokrotność 2n, a dla jakich o wielokrotność

TT?

Rozwiązanie. Niech A    {2kn : k G Z} i B {kn : k G Z}. Jeśli*

każde dwie wartości arcusa sinusa liczby £ różnią się o wielokrotność 27T, to z zadania 2 mamy

(1)    (1/i) Logi(z - Vz² - 1) - (1/ż) Logi(z + y/_z² - 1) € A. Stąd dostajemy

(2)    (1/i) Log (z - y/z² ~ 1) - (1/i) Log (z +    G A.

Istotnie, z zadania 1 (ii) mamy

log i (z - v^² - 1) — log(z - y/z² - 1) = log z,

log i (z + y/z² — 1) - log(z + y/z² - 1) = log i, logi — logi = iA,

czyli

(1/i) | J^Log i(z — y/z² — 1) - Log (z — y/z² - l)j -'j^Logi(z + y/z² ~ 1) — Log(z + n/z² — 1) | € A.

Stąd i z (1) dostajemy (2).

Z (2) i z prostej tożsamości (z — y/z² — l)(z + y/z² — 1) = 1 otrzymujemy

Log(z — y/z² — 1) = Attz, & G {0, l},

co daje

(z -- y/z² — 1) — 1 lub (z — y/z² — 1) = —1.

Stąd z = ±1. Oczywiście dla -z = ±1 każde dwie wartości arcusa sinusa liczby z różnią się o wielokrotność 2tt.

Jeśli każde dwie wartości arcusa sinusa liczby z różnią się o wielokrotność 7r, to z zadań 2 i l(ii), podobnie jak powyżej, dostajemy

(3)    (1/i) Log (z — y/z² — 1) — (1/i) Log (z + y/z1) G B.

Z (4) i z tożsamości (z — y/z² — 1 )(z + y/z² — 1) — 1 otrzymujemy

Log(z - y/z² — 1) = kni/2, £; G {—1,0,1,2}