chądzyński
9

28 2. FUNKCJE ZESPOLONE

co daje

_ ;'.i

(z — yjz² — 1) = —i lub (z — yfz² — 1) = — 1 lub

(z — y/z² —1) = 1 lub (z — \/z² — 1) — i.

Stąd z = 0 albo z = ±1. Oczywiście dla z — 0 albo z = ±1 każde dwie wartości arcusa sinusa liczby z różnią się o wielokrotność 7r.

To kończy rozwiązanie.    Q 7.

Zadanie 5. Dla jakich liczb z € C każde dwie wartości arcusa cosi- ?• nusa liczby z różnią się o wielokrotność 2tt, a dla jakich o wielohrot- | ność 7r ?

y."

Rozwiązanie. Niech A := {2k7r : k £ Z} i D := {kn : k £ Z}. Jeśli j każde dwie wartości arcusa cosinusa liczby z różnią się o wielokrotność f 2tt, to z zadania 3 mamy

(1 /i) Log(z — yj z¹ ~ 1) — (1 /i) Log(z 4- yj z¹ — 1) £ A.    c

V

Dalej analogicznie jak w zadaniu 4 dostajemy z = =kl. Oczywiście dla y z — il każde dwie wartości arcusa cosinusa liczby z różnią się o y wielokrotność 27i\    £

Jeśli każde dwie wartości arcusa cosinusa liczby z różnią się o | wielokrotność 7r, to z zadania 3 marny

(1 /i) Log (z — yj z² — 1) — (1 /i) Log(z + yj z² — 1) 6 B.

Dalej, analogicznie jak w zadaniu 4, dostajemy z = 0 albo z = ±1. Oczywiście dla z = 0 albo z == ±1 każde dwie wartości arcusa cosinusa liczby z różnią się o wielokrotność 7r.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech dla z £ C \ {—i, i}

aretg z := {w € C : tg w = z}.

Pokazać, że

. . ..    1 + iz

aretg z = (l/2z) log -—.

i — iz

Każdy element zbioru aretg z nazywamy wartością arcusa tangensa liczby z (por. zadanie 2.3.2).

Rozwiązanie. Rozwiązanie wynika z następującego ciągu oczywistych równoważności

(■w G arc.tg z)    (tg w = z) [

exp 2 iw — 1

( expńe — exp(— iw)

exp 2iw 4- 1

\exp iw exp(—iw) 1 + iz 1 — iz

— iz

— iz }    l exp 2iw =

( w G (1/2i) log

1 iz

iz

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 7. Niech dla z6C \ {—i, i}

arcctg z := {w G C : ctg w — z}.

Pokazać, ze

zz —- 1

arcctg z = (1/2i) log --

° ^w ' ^b iz + 1

Każdy element zbioru aretg z nazywamy wartością arcusa cotangensa liczby z (por. zadanie 2.3.2).

Rozwiązanie. Rozwiązanie wynika, z następującego ciągu oczywistych równoważności

(w G arcctg z) 44> (ctg w = z)

-iz

exp iw + exp(—iw)

exp iw — exp(—iw)

exp 2 iw + 1 exp 2 iw — 1

— —iz j exp2iw = _T

iz — 1

iz + 1

^ («, 6 (l/2i) log ^1) •

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 8. Pokazać, ze jeśli z G C^x i n G No, to z^1/>n — {w G C wⁿ = z].

Rozwiązanie. Z definicji z^lj'ⁿ = {exp(l/n)(Logz + 2kiri) : k G Z}.

Jeśli w G z^1/fn, to w = exp(l/n)(Log z + 2kni) dla pewnej liczby k G Z. Stąd wⁿ — z.

Jeśli icⁿ = z, to w myśl uwagi 1.12.1 mamy wⁿ = expn Logie = exp Log z = z. Stąd, na mocy własności l.ll.l(e), istnieje liczba k G Z