chądzyński2

38 2. FUNKCJE ZESPOLONE

38 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Ponadto mamy

exp((aLog/«)) =

(    1

exp ( a Log(r exp(—x ^—)i)

\    ⁿ

Aexp ^a(—7r -j— i

exp aLog(rexp(7r--)i)

n

exp((oLog /«))    -

Aexp ( a(7r--)i ) ,

gdzie A — (expaLog r). Stąd

(2)    lim exp((a Log f(z'_n)) = A exp(—ani)

n~>oo

i

(3)    lim exp((<a Log f(z")) = A exp ami.

n—*oo

Z (1) i (2) wynika, że lim_n__coP(^) — m4exp(—ani), a z (1) i (3) mamy lim^oo P(z") — cA exp (Yxi. Stąd, w myśl ciągłości funkcji P w punkcie z*, dostalibyśmy exp2a7r? = 1, co jest sprzeczne z tym, że n ^ Z.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 8. Niech C C C będzie okręgiem, a, b € C \C i niech f : C 3 z (z — a)(z — b) £ C. Pokazać, ze:

(a)    jeśli a, b leżą na zewnątrz C, to na C istnieje gałąź potęgi

(b)    jeśli a, b leżą wewnątrz C, to na C istnieje gałąź potęgi

’ ’ f¹'²’

(c)    jeśli jeden z punktów a, b leży wewnątrz C, a drugi na zewnątrz C, to na. C nie istnieje gałąź potęgi Z¹/².

Rozwiązanie, (a). Na mocy zadania 3, w kole domkniętym K o okręgu C istnieją gałąź logarytmu funkcji K 3 z ^ z — a £ C^x i gałąź logarytmu funkcji K 3 z z — h £ C^x. Oznaczmy je odpowiednio L_a, L_b. Połóżmy P : C 3 z t—* exp(l/2)(P_a(z) + Lt>(z)). Funkcja P jest żądaną gałęzią f^J/2. Istotnie, fiuikcja P jest ciągła i dla z £ C

P²{z) = exp L_a(z) exp Lb{z) = (z — a)(z — b).

t+1    t+1

(b). Jeśli a = 6, to gałęzią f^1/>2 jest funkcja P : C B z (z — a). Niech teraz a ^ b. Rozważny funkcję h : C B z i—> (z~a)/(z—b) 6 C*. Pokażemy, że

(1)    /i(C)cC\L.

Przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego z₀ G C mielibyśmy h(zo) — —t, t > 0. Stąd łatwym rachunkiem dostajemy

1    t

zo =

-6.

-o +

Zatem Zq leży na odcinku [o, 6], Wnętrze okręgu C jest zbiorem wypukłym, więc zawiera cały odcinek [a, b}. W konsekwencji z₀ należy do wnętrza C, co prowadzi do sprzeczności.

W myśl (1) funkcja Logoh jest ciągła. Połóżmy P : C B z (z — b) exp(l/2) Log(h{z)). Pokażemy, że funkcja P jest żądaną gałęzią f¹/². Istotnie, funkcja P jest ciągła i dla z G C

P²{z) — (z — b)² expLog(/i(z)) = (z — b)²h{z) = (z — a)(z — b).

(c). Niech punkt a leży wewnątrz C, a. punkt b leży na zewnątrz C i niech z₀ będzie środkiem C. Przypuśćmy przeciwnie, że na C istnieje gałąź /^1//2, oznaczmy ją P. Punkty a i zq leżą wewnątrz C.Wówczas, w myśl (b), na C istnieje gałąź f^², gdzie fi : CBz^ (z—a)(z — z₀) G C. Niech, analogicznie jak w (a). Lb będzie gałęzią logarytmu funkcji C B z y~> z~b G C^x na okręgu C . Połóżmy. Po ■ O B z i—»■ (P₁(z)/P(z))exp(l/2)Lk(z)). Fmikcja P jest ciągła i dla z G C

Po (z) = (Pf(z)/P²(z)) exp L_h{z) = z - z₀.

Reasumując, na C istnieje gałąź potęgi f^², gdzie /o : C B z f-~* z — Zq G C^k, co zgodnie z zadaniem 7 prowadzi do sprzeczności.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 9. Niech E GL C będzie zbiorem spójnym i Pi (£ E. Pokazać, że jeżeli Ti, T2 są na zbiorze E gałęziami arcusa tangensa, tzn. funkcjami ciągłymi takimi, że tg Tj(z) — z dla j — 1,2 i z G E, to Ti — T2 jest na E stalą wielokrotnością 7r.

Rozwiązanie. Z definicji gałęzi arcusa tangensa Ti, T₂ są funkcjai ciągłymi oraz dla z G E mamy

tg Ti (z) = z i tgT₂(z) = 2.