chądzyński
2

14 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a. Pokazać, ze funkcja f sprzężona do funkcji f ma pochodną f (a) dokładnie wtedy₇ gdy f'_s(a) — if (a).

Rozwiązanie. Z określenia M-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe Ai,A₂ G C i funkcja u : S7₀ —»► C ciągła w punkcie 0, o;(0) = 0 takie, że

(1)    f(a + h) — /(a) Aih.\ + A₂h₂ + u>(h)\h\, h G Q,q,

gdzie hi — Reh, h₂ — Imh. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(²)    =/*(«) ¹ = /'(«)■

Z drugiej strony, z (1) mamy

(3)    f (^a + ń) = /(e) I- Aj /ii 4- A₂h₂ +    ń G Qo*

Z (3) i z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(4)    A₁ = f'_x(a) i A₂ = 7_y(a).

Zauważmy teraz, że istnienie pochodnej f\a), w myśl zadań 1 i 2 oraz wzoru (4), jest równoważne równości A\ = (\/i)A₂. Na mocy (2) ostatnią równość możemy zapisać w postaci /'(o) — if_y{a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Załóżmy, że funkcja f ma pochodną /'(a). Pokazać, że funkcja, f sprzężona do funkcji f ma pochodną f (a) dokładnie wtedy, gdy /'(o) — 0.

Rozwiązanie. Z założenia i z zadania 1 wynika, że funkcja / jest M-różniczkowalna w punkcie a i spełnia warunek f'_x(a) — (1 /«)/'(«) = f'(a).

Jeśli funkcja / ma pochodną / (a), to z zadania 3 fj(a) ~ if_y(a). Stąd /'(o) — 0.

Jeśli f'(ci) = 0, to /'(a) = ify(a) — 0 i, w myśl zadania 3, funkcja / ma pochodną / (a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Pokazać, że jeżeli funkcja f jest IR-różniczkowalna w punkcie a i istnieje granica lim/,._»o Re -'hl~.fi?-} ^ funkcjo, j _rna pochodną f'(a).

Rozwiązanie. Z określenia M-różniezkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe Ai, A₂ £ Ci funkcja u : £7₀ —C ciągła w punkcie 0. cj(0) — 0 takie, źe

(1)    /(a 4- h) = f(a) 4- A\h\ + A₂h₂ 4- tn(/i)J/i|, h £ Ho,

gdzie hi = Reh, h₂ — Im/?.. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(2)    A, =    f'Mi A₂ = /'(o).

Niech lim/^o Re ^^a+fl\    — g £ C. Wówczas z (1)

(3)

lim Re

/i-*0

A\h\ -j- A₂h₂

h

= 9-

Kładąc w (3) kolejno h₂ = 0, hi = 0 i h\ — h₂, dostajemy odpowiednio ReAi — g, ImĄ = g i |(ReAi + ReA₂ 4- Im Ai 4 ImĄ) — g. Stąd Re A] = Im A₂, Im A] = — ReA₂ i w konsekwencji

(4)    Ai =-- (1 //)A₂.

Z (4), (2) i zadania 2 wynika istnienie pochodnej /'(a).

To kończy rozwiązanie.    D

1-różniczkowalna w to funkcja f lub

Zadanie 6. Pokazać, ze jeżeli funkcja f jest punkcie a i istnieje granica lim/,_+₀

funkcja f sprzężona do funkcji f ma pochodną w punkcie a.

Rozwiązanie. Z określenia M-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stale A_1; A₂ € C i funkcja, lj : f2₀ —> C ciągła w punkcie 0, tu(0) = 0 takie, że

(1)    f{a + h) = f(a) 4- A_xhi 4- A₂h₂ + w(ń)|/i|, h £fi₀,

gdzie hi — Re h, h₂ = Im h. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(2)    A = /» i A₂ = f‘(a).

Niech lim/,^0 | —^a.+N_A(4> | — g ę. c. Wówczas z (1)

(3)    lim

o

A\h\ + A₂h₂