124844

Zadanie 6. Niech A będzie wartością własną macierzy .4 Wyznaczyć wartości własne macierzy

a)    A~^l (jeżeli istnieje),

b)    ,4 + ol, dla a € R,

c)    (.4 + /)", dla neN,

d)    (j4 +    dla n € N, gdzie B~ⁿ = (B~^,)" (jeżeli B~^l istnieje)

Zadanie 7* Dowieść, ze różnym wartościom własnym rzeczywistej macierzy symetrycznej odpowiadają ortogonalne wektory własne

Zadanie 8. Wiedząc, ze u\4(A) = A⁹ ■+■ ^A⁸ + A⁵ + gA^J — A + g jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, wyznaczyć

a)    wymiar macierzy .4,

b)    det(/i),

c) * tr(i4), tj ślad macierzy A

2 3    0

obliczyć

Zadanie 9. Dla macierz .4 =

-1 2    1

2 3-2

a)A,A₂A₃, b)A?+A^ + AŚ, gdzie Aj, A₂, A₃ to wartości własne macierzy -4 Zadanie 10. Niech .4 = [a,j] € R"^x" będzie macierzą trójkątną Niech

w_m (A) = det ((A/ - ,4)^m), m € N

Wykazać, ze warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by suma współczynników wielomianu w_m była równa 0, jest warunek a;, = 1, dla pewnego «

Zadanie 11. Niech A,B € R"*ⁿ Powiemy, ze macierze .4 i B są podobne (ozn .4 ~ B), jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P spełniająca warunek B = P~^l AP Pokazać, ze relacja ~ jest relacją równoważności, tj

a)    .4 ~ .4, (tzn jest zwrotna),

b)    .4 B => B ~ A, (tzn jest symetryczna),

c)    ((.4 ~ B) A (B ~ C)) => .4 ~ C, (tzn jest przechodnia)

Zadanie 12. Pokazać, ze macierze podobne mają te same wartości własne Zadanie 13. Dla macierzy

	1 2 0 '		10 0 '		1 10'
.4 =	0 2 0	, B =	0 2 0	oraz P^_l =	0 £ 0
	-2 -2 -1		0 0-1		-1 -1 1

pokazać, ze .4 = P~^lBP, a następnie wyznaczyć .4*"^a’

Zadanie 14. Niech .4, B € R^nXn det (AB) £ 0 Udowodnić, ze jeżeli A jest wartością własną macierzy .42?, to A jest również wartością własną macierzy BA Czy założenie det (AB) ^ 0 można osłabić ^?

2