381 2

381

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

doboru

współczynników do zadania. Niech będzie

*„ = (ci »c₂.....c,)^T.

Załóżmy najpierw, ze g=0. Wygodnie jest wybrać H_m tak, te Bu = 0 (V«e H_m). W klasycznych zastosowaniach y, są zwykle wielomianami lub funkcjami trygonomctryc2-pomnożonymi przez pewną funkcję wybraną tak, aby spełnić warunki brzegowe. Niekiedy jako pj przyjmuje się funkcje własne prostszego równania z tymi samymi warunkami brzegowymi. Jeszcze inaczej wybiera się funkcje y] w metodzie elementu skończonego; zob. § 8.6.5.

pozostaje teraz przybliżyć funkcję/ kombinacją liniową funkcji ę, = AipW rozdziale 4 takie zadania aproksymacyjne rozważano dla funkcji jednej zmiennej, ale technika po-stepowania i twierdzenie 4.2.5 są prawdziwe ogólniej i można ich użyć do minimalizacji normy ||/- Au\\. Wymaga się tylko określenia iloczynu skalarnego (u, r) i normy lub se-minormy Iju¹ =(w, u)¹¹² spełniających warunki podane w § 4.1.3; może być np.

(8.6.14)    (*,»)- V v(P_Ł)o(PJ (P,eD)

lub

1.8.6.15)    = \\u{x,y)v{x,y\dxdy.

D

Jeśli używa się zbioru dyskretnego    . to metodę nazywa się koUokacją. Otrzy

mujemy wtedy układ liniowy z macierzą o elementach

a_ij = Av_J(P_l).

nadokreślony, jeśli m>n.

W metodzie Gałerkina współczynniki określa żądanie, aby funkcja residualna f- Au b} b ortogonalna do wszystkich v e H_n w sensie definicji (8.6.15), tzn. żeby było

{iPi,Au-f)*z 0 (i =1,2.....n).

^DaJ^e to układ liniowy

A_mu„=f_n,

p2je elementami macierzy A_n i składowymi wektora /„ są odpowiednio liczby Apj) ¹ (Wcześniej wspomniana minimalizacja normy ||/-/łw|| prowadzi do podobnego ^u^^nau» ale z elementami (Ah/_it Ayj) i (Aip_hfj). (Należy sprawdzić te stwierdzenia!).

Jeśli do rozwinięcia (8.6.13) chciałoby się dołączyć jeden składnik i jeśli dany jest *°zkład trójkątny macierzy' A„, to rozwiązanie układu A_m+\u₉+_x=f_HJft otrzymuje się ^vsztem Oln²) działań (to samo odnosi się do kollokacji, jeśli m=n). Wyniki otrzymane . ^łóżnych n mogą się przydać do oszacowania błędu i - być może — do przyspieszenia ^‘ężności.

Operator A w przestrzeni H z iloczynem skalarnym jest symetryczny, jeśli (u, Av)= gpUfcp) (yg,o e /f). Operator symetryczny jest dodatnio określony, jeśli (u, Au)>0 fer ^ naszym przypadku wszystkie funkcje u s H spełniają warunek brzegowy