12308 str220

220 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Zadania do rozwiązania

1. Wyznaczyć obszary, w których poniższe równania różniczkowe są typu eliptycznego:

d²u d¹u ,    3²h du du

^a> J-2-²yr-r--(* -25)-^ + —+ 5—+ u = 0,

8x 8xdy    dy 8x 8y

8²u    8²u    8²u du

b)<2x ₊ ,)-,-2 —+

= 0,

8²u    8¹u

8x²    8xdy 8y^z

d) (x² + 9yⁱ)—_:,-6

d²u . 8²u    8²u

8x 8xdy 8y

+x — = 0 8y

2. Wyznaczyć obszary, w których poniższe równania różniczkowe są typu hiper-bolicznego:

- - d²u ,    d²u

a) t-₂ + 4xt-t- + (3x    ⁼⁼⁰’

dx 8xdy    dy

8²u

8?'

8²u

. ~ ,    . 8²u d²u . du

b) -~i+(3x 4- y) -—-—h ——2 *b C^x +1) ~ = 0,

8x*

dxdy dy

dx

d²u d²u d²u

o)(x + 2rt-,-2—-^₊» = 0,

d²u 8²u

,+4;

8²U

du

’dx

^d) Xdx^{, + i}eiay^+XSy‘ ^{+ r}~'°'

_v d²u d²u d²u

^b) 8?⁺²8^dy ^{+ 5}W^{2 = 0}'

4. Wyznaczyć ogólne rozwiązanie następującego równania różniczkowego:

d²u . ^Td²u    , d²u    du

—=+4sin2x---4cos 2x —*+4cos2x— = 0.

dx²    8xdy    dy²    dy

Odpowiedzi

1. a) Wnętrze okręgu x²+y²<25, b) pół płaszczyzna y>— 2x+l,

'd²u

dxdy

dy²

d²u

a) —2cosx 8x²

,    8²u

-(3 + sin²jt) —j = 0,

1

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące równania różniczkowe: