1109145323

5 Równania różniczkowe cząstkowe. Sprowadzanie do postaci

kanonicznej.

5.1 Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Niech f(x, y) = Ax² + Bxy + Cy² oznacza formę kwadratową. Załóżmy, że choć jedna z liczb A, B, C nie jest zerem. Niech A = B² — 4AC.

Lemat 5.1 Istnieje liniowa zamiana zmiennych u = ax + (3y v = a'x + 0'y

tak, że w nowych współrzędnych forma przyjmuje postać:

•    u² — v² lub u ■ v    gdy A > 0 (typ hiperboliczny)

•    u²    gdy A = 0 (typ paraboliczny)

•    ±(u² + v²)    gdy A < 0 (typ eliptyczny)

Przykład 5.2 Określić typy i sprowadzić do postaci kanonicznej formy:

•    f{x, y) = x² - 4xy - 2y*

•    9(^xi y) = 9x² - 6xj/ + 4y²

•    h(x, y) = -x² + 4xy - 5y²