str261

•GO § 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 261

jpująccj postaci:

kV >

■T7

i płaskiej

natomiast z warunku (8) wyznaczamy A

as 1

U (a, s) = A cosh— = —U₀, c s

A =

Uo

as

scosh— c

a,

i stron równania (1) wzglę-

Transformata szukanej funkcji u{x,t) ma następującą postać:

(9)

U(x,s) =

sx

U₀ cosh — c

scosh -

as

Dla otrzymania oryginału u(x, i) funkcji (9) dokonujemy transformacji odwrotnej na funkcji U(x,s). Biegunami funkcji (9) są następujące liczby:

J₀ = 0

oraz

7t(2fc—1) ci

=

2 a

dla fc = 0, +1, ±2, ±3, ...

,0).

mamy

Wszystkie bieguny funkcji U(x,s) są biegunami jednokrotnymi. Oryginał funkcji (9) obliczamy z następującego wzoru:

+ 00

u(x, t) = rcz[U(x, s)e*']+ rez [t/(x, s)e^M] ,

s = 0    k= -co s = su

liczymy zatem residua występujące we wzorze (10)

U₀(x) = rez [U(x, s) e”] = U₀,

5=0

u_k(x, t) = rez [U(x, s)e^s<] + rez [f7(x, s)e⁵'] =

n(2k— t)ci    _n(2k — l)ci

2a

= u₀ł

n(2k— l)x

cosh-i exp

2 a

2a

n(2k—l)c _ 1

L ^2a 'j _[

n(2k— 1) rt(2fc —1) -i sinh-i

niając przy tym warunki (7)

n(2k~l)c 2 a

n(2k — l)x

cosh-i exp

2 a

it(2fc —1)    Jt(2k —1)

--i sinh---i

a,t , i\k    n(2k—l)x n(2k—l)ct

4t/₀(— 1) cos-r-cos-

2 a rt(2fc-l)

2 a

>