str247

$ 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 247

oraz    warunki brzegowe

(4)    u(0,    y, z, t)    =    u(a,    y, z, t) =    0    dla    Ocycft,    0<z<y,    t>0,

(5)    u(x, 0, z, t)    =    ti(x,    b, z, t) =    0    dla    0<x<a,    0<z<c,    t>0,

(6)    u(x, y, 0, t)    =    u(x,    y, c, t) =    0    dla    0<x<a,    0<y<b,    t>0.

I

Rozwiązanie. Poszukujemy ciągu rozwiązań u_km„(x, y, z, t) równania (1) w postaci

(7)    u_kmn(x, y, z, 0 = X_k(x) Y_m(y)Z„(z)7^(0.

Funkcje X_k(x), Y_m(y), Z„(z) oraz T_kmn{t) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja u_kmn(x, y, z, () spełniała równanie (1). Obliczamy zatem pochodne funkcji (7)

^km

dx²

8²u_km

dy²

d²u_km

= X'_k'Y'ZT_l

k ¹ m^n¹ kmn 9

■ = X_kY”Z_nT_km„,

dz

8²u

₂ =x_kY_mz:r_kmn,

kmn

dt²

= X_kY_mZX'mn

i podstawiamy je do równania (1), otrzymując stąd następujący związek: X't Y_mZ_nT_kmn + X_kY^Z_nT_kmn + X_kY_mZ”T_kmn = -₂X_kY_mZ_nT_kmn,

który wobec założenia u_kmn(x,y,z, 0^0 możemy zapisać w postaci

Xk		+ *L	1	rjiff * kmn
Xk	^+ Ym	^+ zn		T ^1 kmn

Tytt    rjtt    rpti

Jeżeli X_k(x), Y_m(y), Z„(z) oraz T_kmn(t) są rozwiązaniami równań

x';

(8)

gdzie

(9)

= -Ki,

v-= -^M-    ~ =    ,

•* m    ^N    ■* kmn

ł²kmn = K²k+M²m + N²,

to funkcje u_kn/t(x, y, z, t) spełniają równanie (1). Równania (8) po uporządkowaniu przybierają postać

X_k +K_kX_k = 0,

y"+M^r_m = o, z;+n„²z„ = o,

Kmn + '‘■kmn

Tiv!²'

TlL + XLnV²T_kmn = 0.

(10)