str255

30 g 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 255

	--------—“
) opisującą drgania struny n-l)7re/ l	który wobec założenia V„(r, z) £ 0 możemy zapisać w postaci R" 1 K Z" —+----+— = 0. Rn r Rn Z„ Jeżeli R„(r) i Zn(z) są rozwiązaniami równań ^() Rn r R„ Z„ to funkcje Vn(r,z) spełniają równanie (1). Równania (5) możemy zapisać następująco:
atycznego wytworzonego z = / równa się zero, na-,>0 (rys. 4.12).	/ _ r;'+-r;-;iX = o, (6) r Z'n'+X^2HZn = 0.
• pełnia równanie Laplace’a \	Całkami ogólnymi równań (6) są funkcje Rn(r) = AnIoVnr) + B„K0(Jl„r), Z „(z) = C„ cos X„z + Dn sin Xnz, gdzie I0(x) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela rodzaju pierwszego rzędu zerowego, K0(x) — zmodyfikowaną funkcją Bessela rodzaju drugiego rzędu zerowego. Funkcja V(r,z) jest ograniczona w całym rozważanym obszarze 0śr<a i 0<z<l, zatem stałe Bn muszą być zerami, co wynika z nieograniczoności funkcji K0(x) w punkcie x = 0. Z warunków (3) otrzymujemy Z„(0) = C„ = 0, Z„(0 = Dn sin A„/ = 0, = i ► Obecnie funkcję V(r,z) możemy zapisać w następującej postaci: oo \ ' /mc \ mcz (7) F(r, z) = ) —r Isin—, n= 1 gdzie = AnD„. Funkcja (7) spełnia warunki (3). Wartości współczynników E„ wyznaczamy w ten sposób, ażeby uczynić zadość warunkowi brzegowemu (2)
i \z) spełniała równanie (1).	co \ ^1 /nna\ nnz (8) y EnI0l—j- jsm— = V0 dla 0<z<l. n= 1 Jeżeli do zależności (8) wprowadzimy następujące oznaczenie:
X	/nna\ (9) F„ = E„I o(^—J, to otrzymamy
cy związek:	00 \ ^1 nnz (10) y F„ sin—= F„ dla 0 <z<l. n= 1

(10)