8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 257
Funkcje Rn{r) i Tn(l) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja 9„(r, t) spełniała równanie (1). Obliczamy zatem pochodne funkcji (4)
8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 257
dr
= r:t„
Mn
df=R-T"
i podstawiamy je do równania (1) otrzymując stąd następujący związek:
R'n'T„+-KTH = r
który wobec założenia !)„(r, /) ^ 0 możemy zapisać w postaci
r;; +_i k = _i_. r
Rn r Rn K Tn
Jeżeli Rn{r) i Tn(z) są rozwiązaniami równań
= —
2
n >
to funkcje 9„(r, t) spełniają równanie (1). Równania (5) po uporządkowaniu zapisujemy w następującej postaci:
(6)
R'n' + -R'n + X2nRn = 0.
Całkami ogólnymi równań (6) są fupkcje
R»(r) = AnJ0(Xnr) + BnY0(Xnr),
T„(t)= Cnexp(-xX2t),
gdzie J0(x) jest funkcją Bessela rodzaju pierwszego rzędu zerowego, Y0(x) — funkcją Bessela rodzaju drugiego (funkcja Naumanna) rzędu zerowego.
Funkcja $(r,t) jest ograniczona w całym obszarze 0<r<a, zatem stałe Bm muszą być zerami, ponieważ funkcja F0(.*) jest nieograniczona w punkcie x = 0. Z warunku (3) otrzymujemy
R„(n) = Ą,J0(Ana) = 0, Xn=-,
a
gdzie y„ są dodatnimi kolejnymi pierwiastkami równania
(7) J o(y) = 0 •
Obecnie funkcję ,9(r, t) możemy zapisać w następującej postaci;
(8) 9(r, t) = ^ Dn,/o(^r)eXP(”*“T*)>
/»=* 1
17 —Wybrane działy matematyki...