40502 str241

GO S 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 241

GO S 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 241

(x) dx.

:o+* («)]#+

di\,

?c

Definicja 4. Normą ciągu funkcyjnego X„(x) w przedziale (a, b) nazywamy wyrażenie

(8.2)

Definicja 5. Uogólnionym szeregiem Fouriera danej funkcji f(x) określonej i całkowalnej wraz z kwadratem w przedziale (a, 6) względem ortogonalnego ciągu funkcji {Z„(x)} nazywamy szereg

(8.3)    £ 4A(x),

gdzie

(8.4)

n= 1

|X„²(x) dx

>wych

ałceń Laplace’a

ouriera polega na poszuki-w postaci iloczynu funkcji, i jednej zmiennej, lub sumy any ciąg funkcyjny, którego

$Xfx)x_m(x)e(x)dx =

(8.5)

t).

lżące do wyżej omawianych

nych z kwadratem w przeleli

m,

m.

tym unormowanym w prze-A = 1.

Własność 1. Funkcja f(x) jest sumą szeregu (8.3) w» przedziale (a, b), jeżeli funkcja f(x) spełnia następujące warunki zwane warunkami Dirichleta w przedziale (a,b):

1)    j\x) jest funkcją przedziałami ciągłą w przedziale (a, b),

2)    iv punktach nieciągłości funkcja /(x) przyjmuje wartość równą średniej arytmetycznej granic lewo- i prawostronnej w tym punkcie,

3)    na krańcach przedziału (a, b) funkcja f{x) przyjmuje wartość równą średniej arytmetycznej granic prawostronnej w punkcie a i lewostronnej w punkcie b.

Definicja 6. Mówimy, że ciąg {A"„(x)} jest ortogonalny z wagą q(x) w przedziale (a, b), jeżeli

(0 dla n#m,

L4>0 dla n = m.

Definicja 7. Mówimy, że ciąg ortogonalny z wagą g(x) w przedziale (a, b) jest unormowany, jeżeli spełniony jest warunek (8.5), przy czym A — 1.

«

Definicja 8. Normą ciągu funkcyjnego X_n(x) ortogonalnego z wagą q(x) w przedziale (a, b) nazywamy wyrażenie

.(8.6)

\\XJLx)\\

~Jl^x-

(x) Q (x) dx.

Definicja 9. Uogólnionym szeregiem Fouriera danej funkcji f{x) określonej i całkowalnej wraz z kwadratem w przedziale {a, b) względem ortogonalnego ciągu funkcji {Z„(x)} z wagą q(x) nazywamy szereg

(8.7) gdzie

(8.8)

=

E B_nX_n(x),

11=1 '

U(x)X„(x)Q(x)dx $X%(x)Q(x)dx

16 — Wybrane działy matematyki...