375 2

375

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

y/ rozwiązywaniu numerycznym równań cząstkowych szczególnie ważne jest to, jak przenoszą się w nim zaburzenia. Aby to wyjaśnić możemy wykonać eksperymentalne obli-cienia $ zaburzeniami. Ponieważ równanie różnicowe jest liniowe, więc różnicę między rozwiązaniem zaburzonym i nie zaburzonym można obliczać również z (8.6.5), jednak z jednorodnymi warunkami brzegowymi. Zaburzenie I wartości u_3t przenosi się zgodnie z następującym schematem:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
~T	; *>	0	0	1	0	0	0	0	0	0
2	^0	0	0.5	0	0.5	0	0	0	0	0
3	0	0.25	0	0.5	0	0.25	0	0	0	0
4	^1 0	0	0.375	0	0.375	0	0.125	0	0	0
5 6	0 0	0.1875	0	0.375	0	0.25	0	0.0625	0	0.0625

Zaburzenie przenosi się na całą tablicę i maleje. Zauważmy nieznaczną asymetrię wywołaną wpływem wartości brzegowych.

Możemy tu zastosować pewne pomysły dotyczące stabilności i metody dla równań różniczkowych zwyczajnych (zob, §§ 8.3 i 8.5.3). W tym celu aproksymujemy równanie (8.6.4) układem równań różniczkowych zwyczajnych. Przyjmijmy znów, ±c h—21N, x_i=ih. Niech w<(f) będzie przybliżeniem dla w(*,, /). Drugą pochodną d²Ufdx^z aproksymujemy jak przedtem za pomocą różnicy centralnej, natomiast pozostawiamy pochodną względem czasu. Daje to układ równań różniczkowych zwyczajnych:

(8.6.6)

dUj

~dt

— h ²(*4j_, — 2u|-ł-u_j+,)    (i—1.2.....AT)

Warunki początkowe i brzegowe przybierają postać

u₀(f)= 1000 sin jiu.

u*₊, = u.v_,.

2h

0, czyli

Te równania można napisać w postaci wektorowej. Przyjmijmy, że *-(«,,    .... u_x)^J

A = h

r-2	l	0 ..	U	0		u0( 1)
1	-2	1 .	0	0		0
0	l	-2 .	0	0	. /«>=* ^2	0
0	0	0 ..	_ 2	1		0
0	0	0 ..	i	— 2		0

Wtedy

da

_T=Auir«).

dc