52909 str245

§ 8. ROZWIĄZYWANIE równań różniczkowych cząstkowych 245

którą wobec założenia u_n(x, y) # 0 możemy zapisać następująco:

X. r.

Jeżeli    i Y„{y) są rozwiązaniami równań

■yll    yll

(6)

_ 2 2    ^J»    _ _ ;2

’    y„

to funkcje (5) spełniają równanie (1). Równania (6) zapisujemy w postaci

(7)    r„'-x²nx„ = o, y:'+2„²y„ = 0.

Całkami ogólnymi równań (7) są funkcje

X„(x) = A„ cosh X_nx + B_n sinh X_nx,

Yniy) = C„ cos A„y+D„ sin A„y.

Z warunku (2) mamy

-X»(0) = A_n = 0.    ,

Z warunków (2), (3) i (4) wynika następujący dodatkowy warunek: po uwzględnieniu którego mamy

następnie z warunku (4) otrzymujemy

(2n — 1) 7t

2b ‘

Y_n(b) = C_ncosA_nb, A_n =

Obecnie funkcję u(x, y) możemy zapisać w następującej postaci:

(8)

u(x,y)= £„si

(2n — l)nx (2n — l)ny sinh-—-cos -

2 b

2 b

gdzie E_n = B_nC„. Funkcja (8) spełnia warunek (2) i (4). Wartości współczynników E_n wyznaczamy tak, ażeby był spełniony warunek (3), tzn.

u(a,y)= E„si

.    (2n — l)na (2n—l)ny

sinh-—-cos-—--= U o.

2 b

2 b

Po wprowadzeniu oznaczenia

. , (2n — l)na F. = E. sinh---

n    _n    2b

(9)