35048 str263

§ 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNaN RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 263

5. Rozwiązać zagadnienie brzegowe:

d²u 2 du 1 du

r<a, t>0,

r<a, t> 0,

5r^r+7'_k37⁼ 7 7"’

u (/*, 0) = 0    dla

u (a, t) = U ₀ dla

t> 0.

6.    Struna zamocowana jest w punktach x — 0 i x — l, tzn. że odchylenie «(0, t) = = u(l, t) = 0. W chwili początkowej t — 0 punkt x = C struny został odchylony o h>0 od jego położenia równowagi, tzn. n(C, 0) = h, gdzie 0<c</. Wyznaczyć funkcję u(x, t) opisującą drgania struny, jeżeli prędkość wszystkich jej punktów w chwili początkowej t = 0 była równa zeru.

7.    Membrana o kształcie prostokąta —a<x<a, —b<y<b jest zamocowana na całym swoim brzegu. Wyznaczyć funkcję u(x, y, t) opisując drgania membrany, jeżeli w chwili początkowej odchylenie punktów membrany wynosi f(x, y) i jeżeli prędkość jej punktów w chwili t = 0 była równa zeru.

Odpowiedzi

(2n +1) nx    (2 n +1) ny

cosh- cos---

cosh

GO

4V_n X '

1. u(x,y)~-± y (-1)"

n = 0

(2n +1) 7ta 2n + l

2b

(2n — l) nx (2n — l)n(b—y) sin--sinh--

co

2. u(x,y)= - >

n

»= 1

_łX . _t(2n-l)«ł> (2n — 1) smh--

yn    ( 5y_n² \

7^xexp(-7V

°° sin

,    U₀hx \ ’

sin 2y„\

H J

3. u(x, t) = U₀--^—-2U₀ >    —

l+ah / i

gdzie są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania yctgy = —ah.

CO 00    |

\6U₀

4. u(x, y, t) = —— y y ^

/ «n+m    (2n+l)łtx (2m + l)rcy

(—l)^B+mCOS--r-COS

2 a

2 b

(2/i +1) (2m +1)

xexp