str246

246 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

wyznaczamy współczynniki F_n z następującej relacji:

— U₀ dla —2 6<x<—6,

CO

Z

^    (2n — 1) ny

F„ cos-—-= f(y) =

o

dla dla 0    dla

- U₀    dla

u,

x = —b, — b<x<b, x = b, 6<x^26.

Funkcja f(y) jest funkcją parzystą spełniającą warunki Dirichleta w przedziale < —26,26). Korzystamy obecnie ze wzoru (8.4)

+ 2b    b

(2 n — 1) ny    f    (2 n — 1) ny

f ^ x (2n — 1)icy    f _v_..

f(y) cos--—--dy U₀ I cos-—-dy

26

F.=

-2b

+ 2 b

I

-2 b

₂(2n — l)ny cos -—--dy

26

O

\

O

71+1

₂(2n-l)7iy cos -—-dy

26

(10)

F.=

4C/₀(-l)

(2 n — 1) ii

Uwzględniając wyrażenie (10) w zależności (9), otrzymujemy wartości współczynników E_n występujących w funkcji (8)

E =

4C/₀( —1 )"⁺¹

jt(2n — 1) sinh

(2n — l)na 26

Obecnie możemy napisać w końcowej postaci rozwiązanie równania (1) spełniające warunki brzegowe (2), (3) i (4). Funkcja u(x, j>) stanowi rozwiązanie zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace’a na płaszczyźnie

Ł/(x

00

n= 1

26

-cos

26

(2n — 1) sinh

(2n — 1) Tta 26

Zadanie 8.3. Wyznaczyć w obszarze Q = {0<x<a, 0<y<b, 0<z<c} rozwiązanie równania falowego dla r>0

d²u d²u d²u 1    6²u'

(1)

dx²⁺ dy^{2 +} dz²    v² dt²ⁱ

spełniające następujące warunki początkowe:

(2)    u(x, y, z,0) — u_o>0 w Q,

(3)

f du

■L-