chądzyński4

178 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

Zadanie 5. Niech f będzie funkcją holomorficzną w zbiorze otwartym G C C i niech a > 0. Pokazać, że funkcja \f\^a jest subharmoniczna w G.

Rozwiązanie. Przez t^a, t € M+ rozumiemy potęgę w dziedzinie rzeczywistej. Zatem |/|^Q = exp (a ln |/|), gdzie lnO = —oo i exp (—oo) = 0.

Z zadania 4 i własności 1.66.2 wynika, że funkcja G 3 z a ln |/ (z)\ jest subharmoniczna. Zatem, na mocy zadania 3 (funkcja exp jest wypukła i rosnąca), funkcja G 3 z i—> exp (a ln |/ (z)|) jest subharmoniczna.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech G C C będzie zbiorem otwartym, Ui : G —> R_+> i — 1,... ,n. Pokazać, że jeżeli funkcje ln Ui są subharmoniczne w G i lnO = —oo, to funkcja ln (u\ + - - • + u_n) jest subharmoniczna w G.

Rozwiązanie. Zastosujmy twierdzenie II. 13.2 (b)=>(a). W tym celu zauważmy najpierw, że na mocy zadania 2 funkcje lnui,..., lnu_n oraz funkcja ln (ui + • • ■ + u_n) są półciągłe z góry w G. Weźmy teraz dowolny zbiór zwarty H C G, funkcję h ciągłą w H i harmoniczną w Int H taką, że na dH mamy

(1)    ln (ui -I-----f u_n) < h.

Na mocy założenia, własności 1.66.1 i własności 1.66.2 funkcje ln (uj) — h, j = 1,..., n są subharmoniczne w Int H. W konsekwencji, na mocy zadania 3, funkcje

Uj exp(—h) = exp(ln (uj) — h)

są subharmoniczne w IntH, gdzie exp(—oo) = 0. Stąd, ponownie na mocy własności 1.66.2, dostajemy, że funkcja Y^=i ^ui^e~^h jest subharmoniczna w Int H. Z (1) na dH mamy

n

(2)    ^n_iexp(-ń) < 1.

j=i

Stąd, na mocy własności II. 13.8, dostajemy, że (2) zachodzi w H. Zatem również (1) zachodzi w H.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i u : G M+ funkcją subharmoniczna,,. Pokazać, ze jeżeli a > 1, to funkcja u^a jest subharmoniczna w G.

Rozwiązanie. Przez t^a, t G wistej, gdzie 0“ = 0. Połóżmy

<P(t) =

1+ rozumiemy potęgę w dziedzinie rzeczy-

dla

dla

t G (—oo, 0) , t G (0, oo) .

Łatwo zauważyć, że funkcja p jest wypukła (jako różniczkowalna, ma-jąća niemałej ącą pochodną) i niemałej ąca. Zatem na mocy zadania 3 funkcja u^a = p o u jest subharmoniczna w G.

! To kończy rozwiązanie.    □

Żądanie 8. Niech K = {z G C : \z\ < 1/2} i

1

^Z~k

n

n G N.

p_n: I< 3 z

k—1

Pokazać, że funkcja p = lim^oo p_n jest nieujemną funkcją subharmo-nitzną, nieciągłą w punkcie 0.

Rozwiązanie. Funkcje p_n są ciągłe i nieujemne (tutaj 0^a = 0 dla a > 0).

! Pokażemy teraz, że funkcje p_n są subharmoniczne. Z zadania 4 i własności 1.66.2 wynika, że funkcja

n

q_n : K 3 z h-*    (l//c³) lⁿ — (1/A;)| ,ln0 = —oo

jfc=i

jest subharmoniczna. Ponieważ funkcja exp, exp(—oo) = 0 jest wypukła i rosnąca, więc na mocy zadania 3 funkcja p_n — exp oq_n jest subharmoniczna.

i Z określenia koła K mamy \z — {l/k)\ < 1 dla k > 1. Zatem ciąg {d_n} funkcji subharmonicznych jest nierosnący. Stąd, na mocy włas-ndści II. 13.9, dosta jemy, że funkcja p jest subharmoniczna. Oczywiście jest ona nieujemną.

Pokażemy, że funkcja p nie jest ciągła w punkcie 0. Łatwo sprawdzić, że'szereg Y^kLi {l/k³)lnk jest zbieżny. Stąd i z zadania 9.3.2 iloczyn

nŁ (i/fc)^1A jest zbieżny. Zatem p (0) > 0. Z drugiej strony, dla dowolnego k G N₀ mamy p(l/ic) = 0. Stąd lim^ooP (1/&) = 0 /

p(0).

f

i