chądzyński2

174 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

Zadanie 9. Niech K = {z £ C : \z\ < r} i C będzie dodatnio zorientowanym brzegiem K. Pokazać, ze jeśli f jest funkcją holomorficzną w K, to dla dowolnego z G K mamy

174 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

w

/(*) =

2iri

<c

Re/(C)C + z C ę-z

d( + i Im/(O)

(wzór Schwarza).

Rozwiązanie. Mamy [Ref(()( + z

df =

C C — z

Stąd i ze wzoru Cauchy’ego dla koła mamy

f Re/(C)C + *

) \C-z

- 7 MC

Jc C C ~^z

Stąd i z zadania 8 dostajemy

1 f Re/(Q C + *

2iri Jc C

d( = 2tńf {z) + J    _ tńf (0) - i j'

dC = /W + /(0)-i/(0)-i/(0)

□

co daje (*).

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 10. Ze wzoru Schwarza wyprowadzić wzór Poissona dla funkcji harmonicznej w kole.

Rozwiązanie. Niech u będzie funkcją harmoniczną w kole K_R = {z £ C : \z\ < R} iO < r < R. Z twierdzenia 1.60.1 wynika, że istnieje funkcja holomorficzna f : Kr—+ C taka, że u — Re /. Niech 0 < r < R i K_r = {z G C : \z\ < r}. Ze wzoru Schwarza dla 2 G K_r mamy

a)

u(z) — Re

^(CK + g

C C~ z

Łatwo sprawdzamy, że Re [(£ + z) / (£ — z)] = (|£|² — |z|²) / |£ — z|². Stąd i z (1) dla z G K_r dostajemy

u(z) — Re

1

2n

KI² - NI² IC-4²

d<p

gdzie £ — re^lv.

To kończy rozwiązanie.

□

11.2. Funkcje subharmoniczne

Zadanie 1. Niech tp : (a, b) —*• R. Pokazać, że funkcja <p jest wypukła dokładnie wtedy, gdy dla dowolnego c E (a, b) istnieje stała M taka, że

(*)

P (t) > (p (c) + M (t — c) dla t E (a, 6) .

Rozwiązanie. Łatwo zauważyć (patrz np. [Kra], stwierdzenie 6.72), że funkcja <p jest wypukła dokładnie wtedy, gdy dla dowolnych t\, t₂ € (a, b) zachodzi nierówność

(jl) <p (c) < ^(U) + j—t-<p (t₂) dla t₁<c< t₂.

t₂ -ti    t₂ - ti

Prosty rachunek pozwala wykazać, że nierówność (1) jest równoważna nierówności

(2)

C — t\    t₂ — c

Załóżmy najpierw", że funkcja tp jest wypukła. Wówczas zachodzi (j2). Ustalmy c. Wtedy

4 •=    y(^c)-yfti) , _inf , v fe) - v jc) _R

•d • ^Pii€(a,c)    ±    .— ^^lt2€(c,6)    • -Ć).

C — t i

to-C

Łatwo sprawdzić, że dla dowolnego .4 < M < B zachodzi (*).

Odwrotnie, załóżmy, że dla dowolnego c istnieje taka stała M, że zachodzi (*). Wówczas dla dowolnych t\ E (o, c), t₂ E (c, b)

c — t i

g>(c)-g> (U) _{K M <}⁽P fe) -    (c)

Stąd, na mocy (2), dostajemy wypukłość tp.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech <p będzie funkcją ciągłą i niemałejącą w R i niech (p (—co) = lim^^-oo <p (x). Pokazać, że jeśli funkcja u : G —> ]Ru{—oo} jest półciągła z góry w zbiorze otwartym G C C, to funkcja <p o u jest również półciągła z góry w G.