chądzyński 2

158    9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Zadanie 6. Niech {a_w} będzie ciągiem punktów należących do koła K = {z 6 C : \z\ < 1} takim, ze a_n f 0 i

OO

w    ~ w) < °°-

71=1

Pokazać, że istnieje funkcja holomorficzna ograniczona w K i mająca zera wyłącznie w punktach ciągu {«.„}.

Rozwiązanie. Pokażemy, że fmikcja / : K —► C określona wzorem

(1)

/w-n

a_n z J a_n | 1    a_T^z a^i

spełnia żądane warunki.

Weźmy dowolną liczbę r € (0,1). Niech K_r = {2 G C : \z\ < r}. Pokażemy najpierw, że szereg

(2)

a_n z | a_n | 1 a_nz a^i

Istotnie, dla z & K₁

jest jednostajnie zbieżny i ograniczony w K_r marny

1

q_n - z \a_r 1 — a_T.z a,

a_n | Oji j z (l    a_nz) a_n

(i - KI) <

1 — r

(1 - KI)-

Stąd, w myśl (*), szereg (2) jest jednostajnie zbieżny w K_r i ograniczony przez —    (1 ^— KI)- Zatem, na mocy twierdzenia 1.54.3,

funkcja f\_K jest holomorficzna. Z dowolności r dostajemy, że / jest funkcją holomorficzną.

Z (1) i określenia iloczynu nieskończonego wynika, że jedynymi zerami funkcji / są punkty a_n, n = 1,2,...

Z własności 1.48.5 mamy

a_n z |q_nj 1 a_nz a_n

dla zeK

n- 1,2,...

Stąd, na mocy (1), dostajemy \f (z)\ < 1 dla z € K.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Niech f będzie funkcją holomorficzną i ograniczoną w kole I\ — {z € <C : \z\ < 1}. Pokazać, że jeśli / ^ 0 i ciąg a 1,^2,    - jest utworzony z zer funkcji f w ten sposób, że każdy punkt a będący zerem funkcji f występuje w tym ciągu dokładnie ord_a / razy, to

OO

(*)    1¹ - w) < °°•

n= 1

Rozwiązanie. Niech / będzie ograniczona przez stałą M > 0. Pokażemy najpierw, że dla każdego n £ N

(1)    |/(0)|<M|o_x •••«„!.

Istotnie, niech h_n (z) — niLi (^z “ ^ai) / (1 ^— aiz). Wtedy funkcja g := f/h_n rozszerza się do funkcji holomorficznej w K. Ustalmy z £ K i połóżmy ro = max (jzj, joi|,..., |a_n|)- Wtedy dla dowolnego r £ (r₀,1) z wniosku 1.44.3 mamy

(2)    |g (z) | < M/ min_M=r |h_n (w) |.

ponieważ lim_r_i (minj^|_=r \h_n (u>)|) — 1, więc z (2) dostajemy |g (z)j < M. Stąd, w myśl dowolności z, dostajemy

i    \f (z)\ < M \h_Tl(z)\ dla z £ K,

qo daje (1).

; Pokażemy teraz (*). Rozważając ewentualnie zamiast funkcji / funkcję K 3 z 1—*■ f {z) /z^otĄ°^, możemy założyć, że /(O)    0. Przypuśćmy, że nie zachodzi (*), tzn.    (1 ~ l^an|) — Wówczas, w

myśl zadania 1, iloczyn n^li l^ani nie jest zbieżny, czyli limn-,00 |ai • • ■ a_n| — 0. To wraz z (1) daje sprzeczność.

To kończy rozwiązanie,    □

Zadanie 8. Niech K — {z £ C • \^z\ < 1} i D =    będzie

zbiorem przeliczalnym zawartym w K, takim że    (1 — [6_nj) — 00.

Pokazać, że jeśli funkcje g, h : K —> C są holomorficzne i ograniczone oraz g\s — ćl\b, to g — h.

Rozwiązanie. Funkcja / := g — h jest ograniczona w K. Przypuśćmy przeciwnie, że /    0. Niech {a_TL} będzie ciągiem utworzonym z zer

funkcji / w ten sposób, że każdy punkt a będący zerem funkcji / występuje w tym ciągu dokładnie ord_a / razy. Wówczas, w myśl zadania